光滑曲面间保定向映射的猜想验证及具体定向构造技术问询

咱们先把问题的背景设定理清楚：

假设 $f: S\to \tilde S$ 是一个光滑映射，其中 $S, \tilde S$ 是 $\mathbb R^{n+1}$ 中的定向 $n$-曲面，带有光滑单位法向量 $N_1$ 和 $N_2$。假设对每个 $p\in S$，$Df_p$ 都是非奇异的。我们称 $f$ 是保定向映射，如果对所有 $p \in S$，以及切空间 $S_p$ 的所有正定向基向量 $v_1,...,v_n$（即满足 $\det\begin{pmatrix}v_1\ v_2\ \vdots\ v_n\ N_1(p)\end{pmatrix}>0$），都有 $\det\begin{pmatrix}Df_p(v_1)\ Df_p(v_2)\ \vdots\ Df(v_n)\ N_2(f(p))\end{pmatrix}>0$。

如果对 $S_p$ 的某个基 $\scr B$ 满足上述性质，我们就说“$f$ 保 $\scr B$ 的定向”。

提出的猜想 #

如果对所有 $p\in S$，都存在 $S_p$ 中的一个基，使得 $f$ 保持这个基的定向，那么 $f$ 是保定向映射。

这个猜想是否成立呢？

具体映射的定向构造尝试 #

假设猜想成立的话，我可以解决下面这个问题：

给定 $A= \mathbb S^1\times (-1,1), B=S^2-{(0,0,1), (0,0,-1)}$，映射 $f:A\to B$ 定义为 $f(x,y,z)=(x\sqrt{1-z^2}, y\sqrt{1-z^2},z)$。需要给 $B$ 定向，使得 $f$ 是保定向的。

我是这么做的：

• 取 $A$ 的光滑单位法向量 $N_1(x,y,z)= (x,y,0)$，显然对于 $A$ 上任意点 $p=(x,y,z)$，切空间的基向量 $v_1:=(-y,x,0)^t$ 和 $v_2:=(0,0,1)^t$ 满足 $\det\begin{pmatrix}-y&x&0\0&0&1\ x&y&0\end{pmatrix}>0$，是正定向基。
• 计算导数：$Df(v_1)=(-y\sqrt{1-z^2}, x\sqrt{1-z^{2},0)$，$Df(v_2)=\left(-\frac{xz}{\sqrt{1-z}2}}, -\frac{yz}{\sqrt{1-z^2}}, 1\right)$（为了简化书写，后面用$()$代替$\sqrt{1-z^2}$）。
• 尝试给 $B$ 取光滑法向量 $N_2(x',y',z')= (x',y',0)$（其中 $(x',y',z')\in B$），计算行列式：
  $$\det\begin{pmatrix}Df(v_1)\ Df(v_2)\ N_2(f(x,y,z))\end{pmatrix}=(x^2+y2)(1-z^2)=1-z2>0$$
  这说明，对于这个 $N_2$，每个 $p\in A$ 都存在一个基 ${v_1,v_2}$ 使得 $f$ 保持它的定向。如果猜想成立，那我们就完成了 $B$ 的定向构造。

这里我特意选了 $v_1, v_2$ 这组基来简化计算，现在有两个疑问：

后续疑问 #

1. 能不能不用这个猜想，直接对 $S_p$ 的所有正定向基来验证 $f$ 是保定向的？
2. 这个猜想本身到底是不是正确的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Koro