关于连续映射下连通空间像的连通组件等价性的证明问询

嘿，我来帮你把这个拓扑学结论的证明理得明明白白：

先把要证的结论明确下来：

设 $f:X\to Y$ 是连续函数，$X$ 是连通拓扑空间，且 $x,y\in f(X)$（$f(X)$ 是 $Y$ 的连通子空间）。记 $C_x$ 为 $x$ 的连通分支（即所有包含 $x$ 的连通集合的并集），$C_y$ 为 $y$ 的连通分支，求证 $C_x=C_y$。

接下来是一步步的证明：

• 首先，因为 $x\in f(X)$，而 $C_x$ 是包含 $x$ 的最大连通子集（这是连通分支的核心定义），又因为连续映射把连通空间映为连通空间，所以 $f(X)$ 本身是连通的，而且包含 $x$，那自然有 $f(X) \subset C_x$；同理，$y\in f(X)$，所以 $f(X) \subset C_y$。
• 这就说明 $C_x$ 和 $C_y$ 都包含整个 $f(X)$，它们的交集肯定非空（毕竟 $f(X)$ 里有 $x,y$ 这些元素）。
• 现在回忆连通分支的一个关键性质：如果两个连通分支有非空交集，那它们必然是同一个集合。或者换个更基础的推导：既然 $C_x$ 和 $C_y$ 都是连通集，且交集非空，那么它们的并集 $C_x\cup C_y$ 也是连通集。但 $C_x$ 是包含 $x$ 的最大连通集，而 $C_x\cup C_y$ 是包含 $x$ 的连通集，所以 $C_x\cup C_y \subset C_x$；同理 $C_x\cup C_y \subset C_y$。这就只能推出 $C_x = C_x\cup C_y = C_y$，也就是 $C_x=C_y$。

这样就完整证明了结论～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Micheal Brain Hurts