高维空间中梯度的工作原理及标量函数梯度结构相关命题的有效性验证

让我先把梯度的核心逻辑给你理清楚，再聊聊你的命题是否成立哈～

梯度的本质理解 #

在我看来，梯度其实就是把函数所有需要的偏导数打包成一个单一结构的工具。拿3维空间来说，计算出来的梯度向量指向的是最速下降方向的斜率。

举个典型例子，我们先看一个从n维实数空间映射到实数的标量函数：
$$\large f: \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$$
它关于向量 $\large \mathbf{\vec x}$ 的梯度定义为：
$$
\large \nabla {\mathbf{\vec x}}f(\mathbf{\vec x}) = \left[\frac{\partial f(\mathbf{\vec x})}{\partial x{i}}\right]{n} = \large \begin{bmatrix}%
\frac{\partial f(\vec{x})}{\partial x{1}} & \frac{\partial f(\vec{x})}{\partial x_{2}} & \frac{\partial f(\vec{x})}{\partial x_{3}} & \dots & \frac{\partial f(\vec{x})}{\partial x_{n}}%
\end{bmatrix}%
$$
你看，梯度的输出结果也是一个向量，这个向量里包含了函数 $\large f(\mathbf{\vec x})$ 对 $\large \mathbf{\vec x}$ 中每个元素的偏导数。

再推广到矩阵的情况，如果我们有一个从m×n实矩阵空间映射到实数的标量函数：
$$\large f: \mathbb{M}{m, n}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}$$
它关于矩阵 $\large \mathbf{A}$ 的梯度就是一个m×n的矩阵，里面是函数对矩阵每个元素的偏导数：
$$
\large\nabla {\mathbf{A}}f(\mathbf{A})= \left[\frac{\partial f(\mathbf{A})}{\partial \mathbf{A}{ij}}\right]{m \times n}
$$

你的命题验证 #

你提出的命题是：对于任意标量函数，它的梯度结构只取决于我们对哪个变量求梯度，和函数的输入类型无关。

比如你举的例子：针对输入是矩阵的标量函数，若对向量 $\large \mathbf{\vec x}$ 求梯度，结果也应该是一个向量，形式如下：
$$
\large \nabla {\mathbf{\vec x}}f(\mathbf{A}) = \left[\frac{\partial f(\mathbf{A})}{\partial x{i}}\right]_{n}
$$

这个命题是完全有效的！

这里的关键逻辑是：梯度的结构由“求导的对象”决定，而不是函数的输入类型。只要函数是标量输出（因为梯度只对标量函数有定义），不管函数的输入是向量、矩阵还是更高阶的张量，当你对某个变量（比如向量 $\mathbf{\vec x}$）求梯度时，梯度的结构就和这个求导变量的结构完全一致——对向量求导得到向量，对矩阵求导得到矩阵，对张量求导得到同阶张量。

换句话说，梯度的作用就是把标量函数对目标变量的每个元素的偏导数，按照目标变量的结构重新组织起来。所以你的这个理解完全正确～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sagnik Taraphdar