我现在卡在这个问题的思路上，完全理不清该怎么推进：

首先，我想到既然$E/F$是伽罗瓦扩张，那么有$|Gal(E/F)|=|E:F|=|E:K||K:F|=|E:K| \times 2$。

接下来我记得一个结论：伽罗瓦扩张的中间域是伽罗瓦的，当且仅当它对应的伽罗瓦群是大伽罗瓦群的正规子群，也就是$Gal(K/F) \triangleleft Gal(E/F)$。我知道任何指数为2的子群一定是正规的，但现在好像没法直接从$K/F$次数为2这一点推出这个结论——更糟的是，如果子群指数为2的话，那整个$E/F$的扩张次数就得是4，但题目里根本没给这个限制条件啊。

另外我还知道一个点：只要域的特征大于2，任何二次扩张都是伽罗瓦的，但我不确定这道题能不能默认这个特征条件。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者cable