关于里斯表示定理（RRT）中满射性证明步骤的疑问

嘿，我完全理解你卡在这一步的感觉——自反性相关的转换确实容易绕晕。让我一步步把这个逻辑拆解开，帮你理清楚：

首先回顾反证法的前提：我们假设$R(T)$在$(L^p)'$中不稠密，根据你提到的那个结果（本质是哈恩-巴拿赫定理的推论），存在一个非零的泛函$F \in (L^{p)''$（也就是$(L}p)'$的对偶空间），使得$F(g) = 0$对所有$g \in R(T)$成立。

接下来关键的一步就是利用$L^p$的自反性：

• 自反空间的核心性质是，典范嵌入映射$C: L^p \to (L^p)''$是满射。什么是典范嵌入？就是对每个$x \in L^p$，我们定义$C_x \in (L^p)''$为：$C_x(h) = h(x)$，对任意$h \in (L^{p)'$。简单说，就是把$L}p$里的元素$x$，对应成“作用在$(L^{p)'$上的泛函——拿每个$(L}p)'$里的泛函$h$去作用$x$”。
• 因为$L^{p$自反，所以$(L}p)''$里的每一个泛函都能通过这个典范嵌入找到对应的$L^p$中的元素。也就是说，刚才那个非零的$F \in (L^p)''$，一定存在某个$x_0 \in L^p$，使得$F = C_{x_0}$。

现在把这个对应关系代入之前的条件：

• 我们知道$F(Tu) = 0$对所有$u \in L^q$成立（因为$Tu \in R(T)$，而$F$零化所有$R(T)$里的元素）。
• 而$F(Tu) = C_{x_0}(Tu)$，根据典范嵌入的定义，$C_{x_0}(Tu) = Tu(x_0)$——也就是把泛函$Tu$作用在$x_0$上。

到这里就得到了你困惑的结论：存在$x_0 \in L^p$（就是刚才对应$F$的那个元素），使得$Tu(x_0) = 0$对所有$u \in L^q$成立。

最后补个收尾的矛盾点（帮你彻底串完整个证明）：
根据$T$的定义，$Tu(x_0) = \int x_0 u , d\mu$（假设我们在测度空间框架下）。如果这个积分对所有$u \in L^{q$都为0，那根据$L}q$的对偶性质，只能推出$x_0$几乎处处为0。但$x_0=0$的话，对应的$C_{x_0}$就是零泛函，这和我们一开始假设的$F \neq 0$矛盾了！

所以反证的假设不成立，$R(T)$必须在$(L^{p)'$中稠密；再结合你已经理解的$T$是等距映射（等距映射的像都是闭子空间），稠密的闭子空间只能是整个空间，所以$R(T)=(L}p)'$，也就是$T$是满射。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者lone_wolf