环上k次均匀随机采样的区间包含概率求解求助

我遇到了一个看似简单但死活找不到正确解法的概率计算问题，想请教大家：

假设我在一个大小为q的环上进行k次均匀随机采样，我想知道这k个采样值全部落在某个大小为q/m的区间内的概率。

举个例子，如果m=4，就是求k个样本都落在某个长度为q/4的区间里的概率。如果指定某一个固定区间，那概率显然是(1/4)^k，但我要的是任意一个该长度区间都满足的概率。我不能直接乘以q，因为这些区间之间有重叠，展开P(A₁∪A₂…∪A_q)又太麻烦了。而且这个概率肯定比1/4^(k-1)大，因为除了4个不重叠的区间，还有很多重叠的区间情况。

我感觉这里应该有个对称性的技巧或者很明显的思路，毕竟所有长度为1的区间都是对称的，但我就是摸不着头脑。不想在这上面耗太多时间了，要是有人有好主意，能帮我理清楚，那真的太感谢了！

提前谢谢大家！

编辑：我以为我搞懂了

再编辑：我没搞懂

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Benoit Avril