Cartan-Eilenberg分解提升的同伦唯一性证明细节及参考文献问询
我正在读Weibel的同调代数，在定义超导出函子和超同调的时候，我们需要提升的同伦唯一性。对于导出函子和投射分解的情况，这个证明不算难，但到了超导出函子和Cartan-Eilenberg分解的情况，我就卡壳了。我用上标$h,v$分别表示水平、垂直微分，以及水平、垂直循环和边界。
具体来说，问题是这样的：
假设$f:A\to B$是Abel范畴$\newcommand{\A}{\mathscr{A}}\A$中的复形态射，且该范畴有足够多的投射对象。设$\epsilon,P$和$\eta,Q$分别是$A,B$的Cartan-Eilenberg分解。通过Horseshoe引理的推广——参考Weibel中导出函子是$\delta$-函子的证明——可以论证存在$f$的提升$F:P\to Q$（双复形态射）。现在的任务是：
假设$F,G:P\to Q$都是$f$的提升，证明存在双复形的同伦$F\simeq G$，即存在态射$s^h_{p,q}:P_{p,q}\to Q_{p+1,q},s^v_{p,q}:P_{p,q}\to Q_{p,q+1}$对所有$p,q$满足：
- $(1)$ $G-F=dhsh+shdh+dvsv+svdv$（指标适配）
- $(2)$ $dhsv+svdh=0=dvsh+shdv$（指标适配）
我知道这个问题之前有人问过，但之前的回答省略的内容太多，我实在补不上这些空白。
令$H=G-F$，它提升了零态射$A\to B$，我们需要找到它的零同伦。我试着模仿通常的比较定理证明，应该用归纳法，但我连基础情况都搞不定。
比如，$H:P_{p,0}\to Q_{p,0}$被$\eta:Q_{p,0}\to B_p$零化，所以它可以通过$\eta$的核分解，也就是$d^v:Q_{p,1}\to Q_{p,0}$的像。出于满射性，我们可以利用投射性质进一步提升到某个态射$t^v:P_{p,0}\to Q_{p,1}$。但这不是我们想要的，因为它不满足$dhtv+tvdh=0$，完全没有理由满足这个条件。或许我需要以某种方式修改$t^v$，但目前还不清楚怎么做。垂直微分很容易构造，但它们不满足我需要的所有性质。
那水平映射该怎么构造呢？我完全没头绪。我唯一能构造出来的映射看起来没什么用。出于投射性质，存在分裂$P_{p,q}\twoheadrightarrow Z^h_{p,q}(P)\twoheadrightarrow B^h_{p,q}(P)$，来自短正合列$0\to Z\to P\to B\to 0$和$0\to B\to Z\to H\to 0$；因为$H:B^h_{p,q}(P)\to Q_{p,q}$可以通过$B^h_{p,q}(Q)$分解，然后利用投射性质，沿着$Q_{p+1,q}\twoheadrightarrow Bh_{p,q}(Q)$提升，这样就能得到一个态射$Bh_{p,q}(P)\to Q_{p+1,q}$，再复合得到$s:P_{p,q}\to Q_{p+1,q}$。但这个映射没有任何明显有用的性质，我只能得出$dhsdh=Hd^h$。
更糟的是，我似乎找不到任何地方详细写出了这个构造。有没有人知道这个构造的细节，或者有相关的参考文献？
备注：内容来源于stack exchange，提问作者FShrike
