关于构造实数集及二维实空间上非常规加法使其构成向量空间的技术问询

嘿，我最近在琢磨这么一个问题，想请教大家：能不能在$\mathbb{R}^{2$上定义一个和常规加法$(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$不一样的加法$\dotplus$，让$(\mathbb{R}}2;\dotplus;\cdot)$仍然是一个向量空间？这里的标量乘法用的是$\mathbb{R}^2$上的常规定义哦。

一开始我觉得这事儿应该挺简单的，结果试了半天都没成功——尤其是加法单位元的存在性限制特别大。我本来想，如果能先在$\mathbb{R}$上找到这样的非常规加法，那直接推广到$\mathbb{R}^2$就行，但后来发现$\mathbb{R}$上根本找不到这样的加法，这条路走不通。

现在我越来越觉得，给定常规数乘的情况下，加法其实是唯一的，有点像环里第一个运算的交换性能从其他公理推导出来那样。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者H. Potter