幺正随机矩阵迹的最值及局部极值存在性问题
嘿，这个问题挺有意思的，我来一步步拆解一下：
首先明确核心转化：n×n的幺正随机矩阵$P$由幺正矩阵$U$生成，即$P_{ij}=|U_{ij}|2$，而$\mathrm{Tr}[P]$就是$\sum_{i=1}n |U_{ii}|2$——所以我们的问题等价于：在所有n×n幺正矩阵$U$中，求$\sum_{i=1}n |U_{ii}|^2$的最值，以及是否存在非全局的局部极值。
一、迹的最大值
这个很直观：幺正矩阵的每一行都是单位向量，所以对每个$i$，$|U_{ii}|^2 \leq \sum_{j=1}^n |U_{ij}|^2 = 1$，等号当且仅当该行其他元素全为0时成立。
如果取$U$为对角幺正矩阵（比如$U = \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, e^{i\theta_2}, ..., e{i\theta_n})$，其中每个$\theta_i$都是实数），此时每个$|U_{ii}|2 = 1$，$\mathrm{Tr}[P] = n$，这显然是最大值——毕竟每个对角元都没法再大，总和自然触达上限。
而且只有对角幺正矩阵能达到这个最大值：只要$U$的某个对角元模为1，该行其他元素必然为0，推而广之，整个矩阵只能是对角形式。
二、迹的最小值
分情况讨论：
- 当$n=1$时，幺正矩阵只能是$[1]$或$[-1]$，对应$P=[1]$，$\mathrm{Tr}[P]=1$，这既是最大值也是最小值。
- 当$n\geq2$时，最小值可以达到0。构造方法很简单：找一个无不动点的置换矩阵就行——比如n=2时的交换矩阵$U = \begin{bmatrix}0&1\1&0\end{bmatrix}$，n=3时的3阶循环置换矩阵$U = \begin{bmatrix}0&1&0\0&0&1\1&0&0\end{bmatrix}$。这类置换矩阵是幺正的（转置就是逆），且所有对角元$U_{ii}=0$，所以$\sum_{i=1}^n |U_{ii}|^2=0$，对应$\mathrm{Tr}[P]=0$。
显然总和不可能小于0，所以0就是$n\geq2$时的全局最小值。
三、局部极值的存在性
答案是存在，我们可以通过构造参数化的幺正矩阵族来验证：
举个n=3的例子，考虑分块对角的幺正矩阵：
U(θ) = [ [cosθ, sinθ, 0], [-sinθ, cosθ, 0], [0, 0, 1] ]
计算对角元模平方和：
$\sum_{i=1}^3 |U(θ)_{ii}|^2 = \cos^2θ + \cos^2θ + 1 = 2\cos^2θ + 1$
对θ求导可得：$\frac{d}{dθ}(2\cos^2θ +1) = -2\sin2θ$，令导数为0，得到极值点$\theta=0, \frac{π}{2}, π, ...$：
- $\theta=0$时，总和为3（全局最大值）；
- $\theta=\frac{π}{2}$时，总和为1。此时观察θ在$\frac{π}{2}$附近的取值：比如$\theta=\frac{π}{2}+ε$，$\cosθ≈-ε$，$\cos2θ≈ε2$，总和≈$2ε^2+1>1$；$\theta=\frac{π}{2}-ε$时同理，总和也大于1。所以$\theta=\frac{π}{2}$对应的总和1是一个局部最小值，它既不是全局最大值3，也不是全局最小值0，属于非全局的局部极值。
本质上，幺正矩阵构成的空间是一个光滑流形，而$\sum |U_{ii}|^2$这个函数在流形上既不是凸函数也不是凹函数，因此必然存在中间的局部极值点，这类例子可以轻松构造出很多。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者ytaguchi
