关于无穷嵌套对数函数在[1,2]上的积分收敛于1的猜想求证

我之前在Desmos上研究这个无穷嵌套对数函数：
$$f(x)=\ln\left(x+\ln\left(x^2+\ln\left(x3+\ln\left(\dots\right)\right)\right)\right)$$
当时突然想计算它在区间$[1,2]$上的积分，于是先从有限嵌套的情况入手——这里用$n$表示嵌套的层数，比如$n=1$时就是$f_1(x)=\ln(x)$，$n=2$时是$f_2(x)=\ln\left(x+\ln\left(x^2\right)\right)$。

我算出了不同$n$对应的积分结果，整理成如下表格：

$$\begin{array}{c|c}
\text{n} & \int_{1}^{2}{f_n(x)}dx \ \hline
1 & 0.38629436112 \ \hline
2 & 0.769701324476 \ \hline
3 & 0.923253197047 \ \hline
4 & 0.968765188969 \ \hline
5 & 0.982950647903 \ \hline
10 & 0.992710069039 \
\end{array}$$

从这些数值结果来看，我猜想这个无穷嵌套对数函数在$[1,2]$上的积分会收敛于1。

不过我自己没有足够的能力完成这个猜想的解析证明或者推翻它，想请教各位大佬能不能帮忙？另外我还没找到这个无穷嵌套对数函数的闭合形式，但我觉得如果能找到的话，这个证明应该会轻松很多。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dylan Levine