关于Mittag-Leffler定理方程设定正确性及cot(z)亚纯函数展开验证的问询

我最近在研究亚纯函数的Mittag-Leffler分解，从维基页面上了解到，一个亚纯函数可以写成这样的形式：

$$f(z) = \sum_{a\in E}p_a(z)$$

这里的$p_a(z)$是洛朗级数的主部，$a$是奇点所在的位置，$E$则是某个开集内所有奇点的集合。另外定理里还定义了$p_a(z)$的具体形式：
$$p_a(z) = \sum_{n=1}^{{N_a}\frac{c_{a,n}}{(z-a)}n}$$

拿$\cot(z)$这个例子来说，它的奇点在$z=0$和所有整数$n$对应的$z=n\pi$（也就是$-\infty \le n \le \infty$），按照上面的形式展开的话，我写出来是这样的：

$$f(z) = \cot(z) = \frac{\cos(z)}{\sin(z)} = \lim_{N\rightarrow\infty} \sum_{n=-N}^N \Big( \sum_{k=1}^{{N_{n\pi}}\frac{c_{n\pi,k}}{(z-n\pi)}k}\Big)$$

（这里我把内层求和的下标改成了$k$，避免和外层的$n$重复，防止混淆）

我猜想，当我们求出每个奇点处洛朗级数的主部之后，这个求和最终会简化成：
$$f(z) = \lim_{N\rightarrow \infty} \sum_{n=-N}^N \frac{1}{z-n\pi}$$

不知道这个推导是不是正确的？

另外我还注意到一个有意思的细节：$\frac{1}{z-n\pi}$本身既不是偶函数也不是奇函数，但这个无穷求和可以拆分后翻倍简化，也就是用这个式子：$$\sum_{n=-N}^N a_n = a_0 + 2\sum_{n=1}^N a_n$$，这点感觉有点反直觉，想确认下是不是合理的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Researcher R