关于Fatou引理类似例子中Yₙ期望计算的矛盾疑惑求解

嘿，我太懂你这种困惑了！刚啃Resnick那本《A Probability Path》的时候，Fatou引理的反例本来就容易绕晕，碰到这种看似矛盾的情况更是头大。

先理理背景：你之前看的经典反例是$X_n = n^2 \cdot 1_{(0,1/n)}$，这个序列几乎处处收敛到0，但期望$n^2 \cdot (1/n)=n$趋向无穷，完美体现了Fatou引理里“≤”不能随便换成等号的情况，这个没问题。

现在问题来了：题目让你看$Y_n = n \cdot 1_{(0,1/\sqrt{n})}$，这个序列确实是几乎处处收敛到0的——毕竟对任何$(0,1]$里的固定x，当n足够大时，$1/\sqrt{n}$会小于x，$Y_n(x)$就变成0了。但题目要求你证明$E[Y_n] \to 0$，可你自己算出来$E[Y_n] = n \cdot (1/\sqrt{n})=\sqrt{n} \to \infty$，这明显对着干啊！

其实你的推理完全没毛病！如果$Y_n$的定义真的是$n \cdot 1_{(0,1/\sqrt{n})}$，那它的期望就是$\sqrt{n}$，铁定趋向无穷大，根本不可能趋向0。出现这种矛盾只有两种可能：

• 要么是你看错了题目里$Y_n$的定义：比如可能题目里的区间是$(0,1/n^{3/2})$而不是$(0,1/\sqrt{n})$，那样期望就是$n \cdot (1/n^{3/2})=1/\sqrt{n} \to 0$；或者系数是$\sqrt{n}$而不是n，$Y_n=\sqrt{n} \cdot 1_{(0,1/n)}$，期望就是$\sqrt{n} \cdot (1/n)=1/\sqrt{n} \to 0$，这才符合要求。
• 要么就是题目本身有笔误，把$Y_n$的定义写错了。

从Fatou引理的角度再验证一下：Fatou引理只要求$E[\lim \inf Y_n] \leq \lim \inf E[Y_n]$，这里$\lim \inf Y_n=0$，不管$E[Y_n]$是趋向0还是无穷，都满足这个不等式——$0≤0$或者$0≤∞$，都不违反Fatou引理，所以你的计算和Fatou引理本身也没有矛盾，只是和题目要求的结论对不上而已。

说白了就是，你没算错，问题出在$Y_n$的定义大概率被写错或者看错了，换个符合$E[Y_n] \to 0$的$Y_n$定义，一切就通顺了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Guilherme Ferrão