关于谓词与命题逻辑中必然保真（NTP）及有效性的形式定义与直观定义对应关系的技术问询

我最近在研读Nicholas Smith所著《Logic: The Laws of Truth》一书，结合书中不同章节对必然保真（NTP）和有效性的定义，产生了一些理解上的疑问，想和大家探讨梳理：

一、书中给出的形式定义 #

来自《Logic: The Laws of Truth》第258页（谓词逻辑语境下）：

1. 一个论证是**必然保真（NTP）**当且仅当，不存在任何ww-模型使得该论证的所有前提为真而结论为假。
2. 一个论证是有效当且仅当，不存在任何模型使得该论证的所有前提为真而结论为假。

二、书中给出的直观定义 #

来自该书§1.4：
a. 一个论证是NTP，当且仅当不可能出现所有前提为真而结论为假的情况。
b. 一个论证是有效，当且仅当它凭借自身的形式而具有NTP属性。

三、关键术语说明 #

• ww：way of the world（可能世界），复数形式为wws
• ww-模型：给定一个语言片段，并为该片段的非逻辑符号指派内涵后，将这些内涵应用到某个ww上得到的模型。所有ww-模型的集合是所有可能模型的子集。
• 所有可能模型：指通过自由为给定语言片段的非逻辑符号赋值而得到的全部模型集合。

四、我的疑问与思考 #

1. 有效性的形式定义与直观定义的对应 #

我大概能想明白有效性的形式定义（定义2）是怎么匹配直观定义（b）的：如果一个论证凭借形式拥有NTP，那它的NTP属性完全和内容无关。这里的内容就是非逻辑符号的内涵，换句话说，不管给非逻辑符号指派什么内涵，应用到任何可能世界上，都不会出现前提全真而结论为假的模型。这也就等价于不存在任何模型（无论是ww-模型还是其他模型）满足前提全真结论假，正好和定义2的表述一致。

2. 关于NTP的形式定义与直观定义的对应困惑 #

我对NTP的形式定义（定义1）还有些拿不准：是不是因为当我们给语言片段的非逻辑符号指派内涵后，会把原本所有自由赋值得到的可能模型空间，缩减为仅由这些内涵应用到可能世界上得到的模型（也就是ww-模型），所以NTP的形式定义才用ww-模型来表述？

这也让我延伸想到，在命题逻辑里，NTP的形式定义是什么？是不是说一个命题逻辑的论证是NTP，当且仅当它在真值表对应现实世界的那一行里，不会出现前提全真而结论假的情况——也就是现实中不可能出现这种矛盾情况？

另外，如果我们没法给出NTP的完整形式化分析，那又怎么判断一个论证是不是NTP呢？

比如书中和一篇文章里给出的两个NTP但无效的例子：

• 前提：太阳是热的；结论：太阳不是冷的。（来自该书）
• 前提：w是水；结论：w是H₂O。（来自某文章）

但我们怎么确定这些论证确实是NTP呢？以第二个例子来说，要满足NTP，就不能存在任何ww-模型使得w的指称属于“水”的外延但不属于“H₂O”的外延。可如果我们没法完整界定世界所有可能/不可能的形态（参考该书第260页最后两段），那我们就没法知道到底存在哪些ww-模型，自然也没法准确判断这个论证是不是NTP。

3. 我对NTP定义的补充思考（求验证） #

后来我又琢磨了下NTP定义的对应问题，想到一个解释，想请大家看看是不是正确：

根据NTP的直观定义，一个论证是NTP当且仅当不可能出现前提全真结论假的情况。放到谓词逻辑里，这里的“不可能”对应的模型空间选什么？是所有可能模型，还是ww-模型？

NTP的属性可能来自论证的形式（比如该书第15页的论证3），也可能来自内容（比如该书第15页的论证7）。如果我们用所有可能模型来定义NTP（即不存在任何模型满足前提全真结论假），那那些凭借内容获得NTP的论证就会被错误排除：这类论证在ww-模型里找不到前提全真结论假的情况，但存在非ww-模型满足这种情况——可这些非ww-模型其实是受限于论证内容（即指派的内涵）而无法达到的。

但如果我们用ww-模型来定义NTP（即不存在任何ww-模型满足前提全真结论假），就能正确识别这类凭借内容获得NTP的论证。同时，对于凭借形式获得NTP的论证来说，不管给非逻辑符号指派什么内涵，对应的ww-模型集合里都不会有前提全真结论假的情况，所以这个定义也能正确识别它们。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user51462