由幂级数定义的算子及其乘积的核的对称性问题

咱们先把问题里的基础设定梳理清楚，方便后续分析：
设 $K = K(x,y) \in L^{{2}(\mathbb{R}}{d}\times \mathbb{R}^{d})$，它定义了 $L^{{2}(\mathbb{R}}{d})$ 上的积分算子（为了方便，算子也记为 $K$）：
$$(Kf)(x) = \int_{\mathbb{R}^{d}}K(x,y)f(y)dy$$
这个算子是Hilbert-Schmidt算子，对应的Hilbert-Schmidt范数为 $|K|{\mathcal{J}{2}}$。复共轭核 $\overline{K} = \overline{K(x,y)}$ 诱导的算子也记为 $\overline{K}$。

接下来通过幂级数定义了两个算子：
$$A_{K} = \sum_{n=0}^{{\infty}\frac{(K\overline{K})}{n}K}{(2n+1)!} \quad \text{和} \quad B_{K} = \sum_{n=1}^{{\infty}\frac{(K\overline{K})}{n}}{(2n)!}$$
这两个级数在Hilbert-Schmidt范数下收敛，所以 $A_K$ 和 $B_K$ 都是良定义的Hilbert-Schmidt算子，自然也可以写成积分算子的形式，对应的核分别为 $A_K(x,y)$ 和 $B_K(x,y)$：
$$(A_{K}f)(x) = \int_{\mathbb{R}^{d}}A_{K}(x,y)f(y)dy \quad \text{和} \quad (B_{K}f)(x) = \int_{\mathbb{R}^{d}}B_{K}(x,y)f(y)dy $$

现在来逐个解决问题：

问题1：若 $K$ 是对称核（即 $K(x,y)=K(y,x)$），$A_K$ 和 $B_K$ 的核是否也对称？ #

答案是肯定的，两者的核都满足对称性。我给你拆解一下背后的逻辑：

首先，当 $K$ 对称时，我们先看中间算子 $K\overline{K}$ 的核：
$$(K\overline{K})(x,y) = \int_{\mathbb{R}^d} K(x,z)\overline{K(z,y)} dz$$
因为 $K(x,z)=K(z,x)$、$K(z,y)=K(y,z)$，把x和y交换后，这个核变成：
$$(K\overline{K})(y,x) = \int_{\mathbb{R}^d} K(y,z)\overline{K(z,x)} dz = \int_{\mathbb{R}^d} K(z,y)\overline{K(x,z)} dz$$
而原核 $(K\overline{K})(x,y) = \int_{\mathbb{R}^d} K(z,x)\overline{K(y,z)} dz$，和交换后的表达式完全一致，所以 $K\overline{K}$ 的核是对称的。

既然 $K\overline{K}$ 的核对称，那它的任意次幂 $(K\overline{K})^n$ 的核也对称——因为对称积分算子的复合还是对称的（复合核的对称性可以通过交换变量直接验证）。

现在看 $A_K$：它的核是各个项 $\frac{(K\overline{K})^n K}{(2n+1)!}$ 的核之和。每个项的核是 $\int (K\overline{K})^n K(z,y) dz$，交换x和y后，这个项变成 $\int (K\overline{K})^n K(z,x) dz$。由于 $(K\overline{K})^n$ 和 $K$ 交换（因为 $K\overline{K}$ 和 $K$ 交换，幂次自然也和 $K$ 交换），这个交换后的表达式等于 $\int K(x,z) (K\overline{K})^n dz$，也就是原项的核。所以每个项的核都对称，求和后的 $A_K(x,y)$ 自然也对称。

再看 $B_K$：它的核是 $\frac{(K\overline{K})^n}{(2n)!}$ 的核之和，每个 $(K\overline{K})^n$ 的核都对称，求和后的 $B_K(x,y)$ 当然也满足 $B_K(x,y)=B_K(y,x)$。

问题2：乘积算子 $KA_K$ 和 $KB_K$ 的核是否对称？ #

答案也是肯定的，两者的核都对称。

这里可以用算子的交换性和对称性来推导：
我们已经知道 $K$ 是对称算子，$A_K$、$B_K$ 也都是对称算子，而且 $K$ 和 $A_K$、$B_K$ 都交换（因为 $K$ 和 $K\overline{K}$ 交换，自然和其幂次的线性组合也交换）。

对于 $KA_K$：任取 $f,g \in L^2(\mathbb{R}d)$，有
$$\langle KA_K f, g\rangle = \langle A_K f, K g\rangle = \langle f, A_K K g\rangle = \langle f, K A_K g\rangle$$
这说明 $KA_K$ 是对称算子，对应到积分核上，就等价于 $KA_K(x,y)=KA_K(y,x)$。

对于 $KB_K$，逻辑完全一样：
$$\langle KB_K f, g\rangle = \langle B_K f, K g\rangle = \langle f, B_K K g\rangle = \langle f, K B_K g\rangle$$
所以 $KB_K$ 也是对称算子，其核自然满足对称性。

或者直接看核的表达式：$KA_K(x,y) = \int K(x,z) A_K(z,y) dz$，交换x和y后得到 $\int K(y,z) A_K(z,x) dz$，利用 $K$ 和 $A_K$ 的对称性，这个式子等于 $\int K(z,y) A_K(x,z) dz = \int A_K(x,z) K(z,y) dz = A_K K(x,y) = KA_K(x,y)$，直接验证了对称性。$KB_K$ 的核可以用完全相同的方法验证。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者InMathweTrust