三维交换代数T的幂结合性（power-associative）条件分类及简化方法问询

各位代数领域的同行们，想请教一个关于三维交换代数幂结合性的问题，先把背景和已知信息梳理清楚：

在深入讨论前，得先明确幂结合性的核心点——要注意，交换代数并不一定能推出幂结合性哦。

我们现在研究的是一个三维交换代数$T$，其中非实单位元$x,y$满足以下乘法规则：
$$x^2 = A_1 + A_2 x + A_3 y $$
$$xy = B_1 + B_2 x + B_3 y$$
$$y^2 = C_1 + C_2 x + C_3 y$$
所有参数$A_1,A_2,\dots,C_3$都是实数。举个具体的展开例子，代数中任意元素$(a + b x + cy)$的平方可以展开为：
$$(a + b x + cy)^2 = a^2 + b^2 A_1 + 2bc B_1 + c^2 C_1 + ( 2ab + b^2 A_2 + 2bc B_2 + c^2 C_2) x + (2ac + b^2 A_3 + 2bc B_3 + c^2 C_3 ) y$$

同时这个代数有几个关键约束条件：

• $x,y$和实数域线性无关，否则就不能称之为真正的三维代数；
• $x \neq y$；
• 代数中不存在满足$i^2 = -1$的元素$i$。

我清楚如果代数是结合的，那它必然是幂结合的，但这是很显然的情况，不是我要探究的重点。

现在有个已知定理：如果一个代数是交换的，并且对代数中任意元素$p$都满足$p^4 = p^2 p^2 = p p^{3$，那么这个代数就是幂结合的。这应该是个好用的工具，但直接计算$p}2 p^2 - p p^3$并验证其恒为0的话，计算量实在太大了。

所以想请教大家：有没有更简便的方法来分类这个代数满足幂结合性的条件？或者有没有办法简化这个问题的计算？

补充信息 #

• 反例展示：如果乘法规则是
  $$x^2 = 1 + 2 x + 3 y $$
  $$xy = 4 + 5 x + 6 y$$
  $$y^2 = 7 + 8 x + 9 y$$
  这个代数就不是幂结合的，比如存在$x^2 x^2 \neq x x^3$的情况。
• 我已经推导得出，要保证代数是三维的（即$x,y$和实数线性无关），需要满足$B_2,A_3,B_3,C_3 \neq 0$。
• 另外我也知道这个代数在平方根运算下不封闭，只是顺便提一下。
• 之前的错误编辑内容已经删除。
• 关键简化技巧：通过变量替换$x/q - v = x' , y/s - w = y'$，我们可以把乘法规则简化成以下形式，这会大幅降低问题的复杂度：
  $$x^2 = A_1 + A_3 y $$
  $$xy = 1 + B_2 x + B_3 y$$
  $$y^2 = C_1 + C_2 x$$
  目前我还在思考这个代数和幂零性（即存在元素$v$使得$v^n = 0$）之间的关联。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mick