关于存在非平凡紧支集光滑函数满足零积分与指数核零积分的问询

嘿，这个问题挺值得琢磨的！其实你的猜测是错的——确实存在这样的非平凡函数 $f\in C_0^\infty([0,\infty))$ 同时满足 $\int_0^\infty f(x),dx=0$ 和 $\int_0^\infty e^{-x}f(x),dx=0$。

先给你梳理下核心逻辑：$C_0^\infty([0,\infty))$（即 $[0,\infty)$ 上紧支集的光滑函数空间）是一个无穷维的线性空间，而你提到的两个积分条件，本质上是两个线性泛函的零空间的交集。在无穷维空间里，有限个线性无关的泛函的零空间交集必然是无穷维的，不可能只包含零函数。这里的两个泛函显然线性无关：比如取一个紧支集在很大区间 $[N,N+1]$ 上的光滑函数，此时第一个积分和第二个积分的比值会趋近于 $e^N$，显然不存在常数 $c$ 能让两个泛函成比例，所以它们的零空间交集肯定有非平凡元素。

接下来给你一个具体的构造例子：

• 先取一个标准的“bump函数” $\psi(x)$，它在 $[0,1]$ 上光滑非负，在 $(0,1)$ 上严格正，紧支集就是 $[0,1]$，并且满足 $\int_0^1 \psi(x)dx=1$。
• 定义 $f(x) = \psi(x) - (1+e)\psi(x-1) + e\psi(x-2)$

现在验证一下：

1. 普通积分：$\int_0^\infty f(x)dx = \int_0^1 \psi(x)dx - (1+e)\int_1^2 \psi(x-1)dx + e\int_2^3 \psi(x-2)dx = 1 - (1+e)\times1 + e\times1 = 0$
2. 指数核积分：$\int_0^\infty e^{-x}f(x)dx = \int_0^1 e^{-x}\psi(x)dx - (1+e)\int_1^2 e^{-x}\psi(x-1)dx + e\int_2^3 e^{-x}\psi(x-2)dx$
   做变量替换 $t=x-1$ 和 $t=x-2$，上式可以写成：
   $C - (1+e)e^{-1}C + e\times e^{-2}C$（其中 $C=\int_0^1 e^{-t}\psi(t)dt \neq0$）
   计算得：$C\left(1 - \frac{1+e}{e} + \frac{e}{e^2}\right) = C\left(1 - \frac{1}{e} -1 + \frac{1}{e}\right)=0$

这个 $f(x)$ 紧支集在 $[0,3]$，属于 $C_0^\infty([0,\infty))$，而且显然不是零函数——它在 $[0,1]$ 取正值，$[1,2]$ 取负值，$[2,3]$ 又取正值，是个变号两次的光滑函数。

另外你提到自己证明了变号一次的函数不存在，这个结论是对的：如果 $f$ 只变号一次，我们可以用积分中值定理或者构造辅助函数分析，确实找不到满足两个零积分条件的非平凡函数，但变号多次的情况就完全不一样了，我们可以通过线性组合调整系数，让两个积分都归零。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Cat