验证素数$p\equiv 3\pmod{4}$时$-1$在有限域$\mathbb F_p$中不是平方元的证明有效性

嘿，我来帮你捋一捋这个证明的有效性～先明确背景：我们考虑有限域$\mathbb F_p:=\mathbb Z/p\mathbb Z$，其中素数$p$满足$p\equiv 3\pmod{4}$，要证的是$-1$在这个域里不能是平方元。你的这个证明逻辑完全通顺，咱们一步步拆解来看：

首先，$\mathbb F_p^\times$是一个循环群，取它的生成元$u$。如果$-1$是平方元，那必然存在某个$1\leq m\leq p-1$，使得$u^{{2m}=-1$。两边平方后可得$u}{4m}=1$。

因为$u$是循环群的生成元，它的阶是$p-1$，所以$p-1$一定整除$4m$，也就是说存在$1\leq n\leq 4$，使得$4m=n(p-1)$。接下来我们分四种情况逐一验证：

• 情况$n=1$：此时$4m=p-1$，意味着$p=4m+1$，即$p\equiv 1\pmod{4}$，这和我们前提里的$p\equiv 3\pmod{4}$直接矛盾。
• 情况$n=2$：此时$4m=2(p-1)$，化简得$2m=p-1$，那么$u^{2m}=u{p-1}=1$，但我们一开始假设$u^{2m}=-1$，这就推出$1=-1$，也就是$2\equiv 0\pmod{p}$，即$p=2$，可$2\equiv 2\pmod{4}$，不符合$p\equiv 3\pmod{4}$的条件，矛盾。
• 情况$n=3$：此时$4m=3(p-1)$，整理得$3p=4m+3$，所以$3p\equiv 3\pmod{4}$。但因为$p\equiv 3\pmod{4}$，那么$3p\equiv 3\times3=9\equiv1\pmod{4}$，这和$3p\equiv3\pmod{4}$矛盾。
• 情况$n=4$：此时$4m=4(p-1)$，化简得$m=p-1$，那么$u^{2m}=u{2(p-1)}=(u^{p-1})2=1^{2=1$，同样和$u}{2m}=-1$矛盾，推出$1=-1$即$p=2$，还是不符合前提，矛盾。

四种情况全部导出矛盾，说明一开始“$-1$是平方元”的假设不成立，你的这个证明完全有效！课程笔记用$n=1$的情况是更简洁的思路，但你这种分情况讨论的方法逻辑闭环完整，完全没问题，不用纠结～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jerry Scott