关于不可分拓扑空间与不可数无穷不交开集的逆命题成立性及度量空间下的情况问询

嘿，这个问题问到点子上了，咱们分两部分来拆解解答：

一、一般拓扑空间中，逆命题不成立 #

先回顾原命题的逻辑：如果拓扑空间$(X, \tau)$存在不可数无穷多个不交开子集，那它一定不是可分的——这个结论没问题，因为可分空间的可数稠密子集必须和每个非空开集相交，而不可数不交开集需要至少不可数个点来“覆盖”，可数集肯定做不到。

但反过来，非可分拓扑空间不一定存在不可数无穷多个不交开子集，给你举个经典反例：
考虑不可数集合$X$（比如实数集$\mathbb{R}$）赋予余可数拓扑：开集定义为空集，或者$X$减去某个可数子集。

• 它是不可分的：任何可数子集$A \subseteq X$都不稠密，因为$X \setminus A$是开集，且和$A$完全不交，所以$A$的闭包不可能是整个$X$。
• 但它里根本找不到两个不交的非空开集：假设$U$和$V$是两个非空开集，那么$U = X \setminus A$，$V = X \setminus B$，其中$A,B$都是可数集。它们的交集$U \cap V = X \setminus (A \cup B)$，而$A \cup B$还是可数集，$X$是不可数的，所以$U \cap V$非空。连两个不交开集都没有，更别说不可数无穷多个了。

这就直接推翻了一般拓扑空间中的逆命题。

二、度量空间中，逆命题成立 #

如果把拓扑空间换成度量空间$(X, d)$，情况就完全不一样了——非可分的度量空间一定存在不可数无穷多个不交开子集，理由如下：
非可分度量空间的核心是不存在可数稠密子集。我们可以用“ε-分离集”来构造不交开集：

1. 假设$X$非可分，那么必然存在某个$\varepsilon > 0$，使得$X$中存在不可数的$\varepsilon$-分离集$S$（即对任意$x \neq y \in S$，$d(x,y) \geq \varepsilon$）。为什么？如果对所有$\varepsilon > 0$，所有$\varepsilon$-分离集都是可数的，那我们可以对每个$n$取一个最大的$1/n$-分离集$S_n$（可数），那么$\bigcup_{n=1}^\infty S_n$就是$X$的可数稠密子集——这和$X$非可分矛盾。
2. 对每个$x \in S$，取开球$B(x, \varepsilon/2)$，这些开球两两不交：如果$x \neq y$，假设存在$z$同时在两个球里，那么$d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon$，这和$d(x,y) \geq \varepsilon$矛盾，所以这些开球确实不交。
3. 因为$S$是不可数的，所以这一族不交开集也是不可数无穷多个。

所以在度量空间里，原命题的逆命题是成立的：非可分等价于存在不可数无穷多个不交开子集。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jason Chen