基于莱布尼茨公式计算π至k位稳定小数位所需最小项数的技术问询

考虑π的莱布尼茨公式：
$$
\pi=4\sum_{n=1}^{\infty\frac{(-1)}{n-1}}{2n-1}.
$$

我们的问题是：要让计算出的π的前k位小数保持稳定（即后续所有部分和的前k位小数都不再变化），需要用到该级数的最少项数是多少？

我先以k=2（两位小数精度）为例做了尝试。设$a_n=\frac{4}{2n-1}$，一开始我想直接套用交错级数的余项估计规则：
$$
|R_n|\leq a_{n+1}\Leftrightarrow |R_n|\leq \frac{4}{2n+1}\leq 10^{-2}
$$
解这个不等式得到$n\geq 200$。实际计算余项$R_{200}$：
$$
\begin{align}
R_{200}&=4\sum_{n=201}^{\infty\frac{(-1)}{n-1}}{2n-1}\simeq 0.004999968751 \leq 10^{-2}
\end{align}
$$

但计算前200项的部分和$S_{200}$：
$$
\begin{align}
S_{200}&=4\sum_{n=1}^{{200}\frac{(-1)}{n-1}}{2n-1}\simeq 3.136592685
\end{align}
$$
这显然没有达到两位小数的精度（毕竟π≈3.14...）。后来我通过实际计算发现，能让结果稳定到两位小数的最小n值是627：
$$
\begin{align}
S_{625}&\simeq 3.143192653\
S_{626}&\simeq 3.139995211\
S_{\mathbf{627}}&\simeq 3.143187549\
S_{628}&\simeq 3.140000298\
S_{629}&\simeq 3.143182478\
&\vdots
\end{align}
$$
从n≥627开始，所有部分和的前两位小数就稳定在3.14了。

那么问题来了：有没有一种解析方法，能对任意k值直接求出这个最小项数n？我感觉这个通用解可能很难得到，因为它高度依赖π本身的数值特性，除非我漏掉了某个关键的思路。如果通用解析解不可行，那有没有比现有估计更精准的方法？比如对于k=3的情况，解$\frac{4}{2n+1}\leq 10^{-3}$得到n≥2000，这个估计确实能满足精度要求，但能不能进一步优化？另外，我还担心遇到π的小数位出现连续0或9的特殊场景，这种情况下精度估计会更复杂，该怎么处理这类问题？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者sam wolfe