加权L²空间上Plancherel定理的有效性技术问询
在Rudin的《Real and Complex Analysis》中，经典的Plancherel定理确立了L²空间（配备Lebesgue测度$dx$）上傅里叶变换的核心等距性质：
$$\left|f\right|_{L2(dx)}=\left|\widehat{f}\right|_{L2(dx)},\quad f\in L^2(\mathbb{R})$$
这个结论是傅里叶分析的基石之一，它保证傅里叶变换在$L^2(\mathbb{R})$上是一个等距同构，完美连接了函数的时域与频域表示。
接下来我们来看你提出的问题——出自Christiansen的《Function Spaces, and Expansion》中的疑问：
Question 1. Is Plancherel's theorem on a Weighted $L^2$-space valid? i.e. $\left|f\right|_{L2(d\mu)}=\left|\widehat{f}\right|_{L2(d\mu)}$ with $d\mu=r(x)dx$? (Here, $f\in L_r2(\mathbb{R})=L2(d\mu)$)
简单说，这个问题本质是：当我们把L²空间的基础测度换成加权Lebesgue测度$d\mu=r(x)dx$（$r(x)$为正可测权重函数）时，傅里叶变换是否还能保持加权L²范数的等距性？
针对这个问题，我们可以从几个角度拆解：
- 并非所有权重都能满足该等距性：比如取权重$r(x)=e{x2}$，这个加权L²空间包含大量快速衰减的函数，但它们的傅里叶变换可能在无穷远衰减极慢（比如紧支集函数的傅里叶变换是整函数，增长性远超过$e{-x2}$），甚至无法纳入该加权空间，更别说等距了。
- 满足条件的权重极其特殊：这类能让傅里叶变换保持等距的权重，通常被称为“傅里叶不变权重”，需要满足严格的调和分析相容性条件。比如权重的傅里叶变换与自身的倒数存在某种对应关系，或者权重是正定函数的平方，但这类权重的范围非常狭窄，远不如标准L²空间的普适性。
- 算子理论视角的约束：这个问题等价于询问傅里叶变换算子$\mathcal{F}$是否是$L2(d\mu)$到自身的等距算子。这要求$\mathcal{F}*\mathcal{F}$（傅里叶变换的伴随算子与自身的复合）是$L^2(d\mu)$上的恒等算子，而伴随算子的形式会因测度改变而变化，这对$r(x)$提出了极强的约束——只有极少数权重能满足这类条件，常数权重（即标准Lebesgue测度）就是最典型的例子。
总结来说：加权L²空间上的Plancherel型等距性仅在非常特殊的权重下成立，绝大多数权重都无法支撑这个结论。如果要深入探究，可以从加权调和分析、傅里叶变换伴随算子的性质入手，或者查找“傅里叶不变加权L²空间”相关的专业文献。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者roly
