多元多项式环之间的同构问题

Here is a problem from my abstract algebra course :
Let $R = \frac{\mathbb{Q}[u,v,w]}{(u^2v2 - w^3)}$. Find finitely many monomials $x^{a_j}y{b_j}$ in $S = \mathbb{Q}[x,y]$ such that $R \simeq \mathbb{Q}[x^{a_1}y{b_1}, ... ,x^{a_r}y{b_r}].$

My idea was to define a simple isomorphism $\phi : \mathbb{Q}[u,v,w] \to \mathbb{Q}[x,y]$ defined by $\phi(u) = x$ and $\phi(v) = y$.
Then apply it to the ideal : $$\phi(u^2v2 -w^3) = \phi(u^2)\phi(v2) - \phi(w^3) = x^2y2 - w^3 $$
And finally try to express this result as a sum of monomials in x and y and these monomials would be my answer.

But now I'm stuck and really not sure about my method, but I can't find a better way to approach this problem. Any help appreciated !

你的思路方向是对的，但有个关键小问题：$\mathbb{Q}[u,v,w]$是三元多项式环，$\mathbb{Q}[x,y]$是二元的，两者不可能是同构的，所以你定义的$\phi$没法是同构。我们应该换个思路——构造一个满同态从$\mathbb{Q}[u,v,w]$到$\mathbb{Q}[x,y]$的某个子环，让这个同态的核正好是理想$(u^2v2 - w^3)$，这样根据环同构定理，$R$就和这个子环同构了。

具体解法步骤： #

1. 定义合适的同态映射
   我们构造映射$\psi: \mathbb{Q}[u,v,w] \to \mathbb{Q}[x,y]$如下：

• $\psi(u) = x^3$
• $\psi(v) = y^3$
• $\psi(w) = x^2y2$

2. 验证核的正确性
   首先计算$\psi(u^2v2 - w^3)$：
   $$\psi(u^2v2 - w^3) = (x³⁾2(y³⁾2 - (x^2y2)^3 = x^6y6 - x^6y6 = 0$$
   这说明$(u^2v2 - w^3) \subseteq \ker\psi$。

反过来，假设$f(u,v,w) \in \ker\psi$，我们可以把$f$写成关于$w$的多项式：$f = \sum_{k=0}^n f_k(u,v)w^k$（其中$f_k \in \mathbb{Q}[u,v]$）。那么$\psi(f) = \sum_{k=0}^n f_k(x^3,y3)(x^2y2)^k = 0$。

注意到每个项$f_k(x^3,y3)(x^2y2)^{k$中的单项式形式为$x}{3a+2k}y^{{3b+2k}$（$x}ay^b$是$f_k$中的单项式），不同$k$对应的指数对$(3a+2k, 3b+2k)$不可能重复（否则会导出3整除2的倍数的矛盾），因此要让和为0，每个$f_k(u,v)w^{k$都必须能被$u}2v^2 - w^3$整除：当$k \geq 3$时，$w^k = w^{k-3}u2v^{2$，可以逐步降次，最终$f$可表示为$(u}2v^2 -w^3)g + f_0 + f_1w + f_2w^2$，而$\psi(f_0 + f_1w + f_2w^2)=0$意味着$f_0=f_1=f_2=0$，所以$f \in (u^2v2 -w^{3)$，即$\ker\psi=(u}2v^2 -w^3)$。

3. 得出同构结论
   根据环同构定理，$R \cong \text{Im}\psi$，而$\text{Im}\psi$就是$\mathbb{Q}[x,y]$中由单项式$x^3$、$y3$、$x^2y2$生成的子环。

补充说明 #

这三个单项式无法再减少为两个：假设$R$能同构于$\mathbb{Q}[m_1,m_2]$（$m_1,m_2$为单项式），那么子环中的元素次数只能是$k\cdot\deg(m_1)+l\cdot\deg(m_2)$（$k,l$为非负整数），但$x^2y2$的次数是4，无法用$x^{3$（次数3）和$y}3$（次数3）的非负整数线性组合表示，因此必须保留三个生成元。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者EtiBeranger