关于希尔伯特空间中满足$T|_{[x]^{ot}}=0$的有界算子是否可表示为$u\otimes x$的疑问

你已经找对方向啦！咱们一步步把这个问题理清楚：

首先，你已经知道可以将希尔伯特空间$H$分解为直和$H = [x] \oplus [x]^{{\bot}$，而且$T$在$[x]}{\bot}$上是零算子。那对于任意$h \in H$，我们总能把$h$拆成$h = \lambda x + y$，其中$y \in [x]^{\bot}$，此时$Th = T(\lambda x + y) = \lambda Tx + Ty = \lambda Tx$——因为$Ty = 0$嘛。

接下来分两种情况讨论：

• 如果$x = 0$，那$[x]^{\bot} = H$，所以$T$就是零算子，这时候取$u = 0$，显然有$T = 0 \otimes 0 = u \otimes x$，成立。
• 如果$x \neq 0$，我们先回忆张量积算子的常见定义：$u \otimes x$作用在任意$h$上的结果是$\langle h, x\rangle u$。现在看$Th = \lambda Tx$，而$\lambda$可以用内积表示：因为$y \perp x$，所以$\langle h, x\rangle = \langle \lambda x + y, x\rangle = \lambda |x|^2$，即$\lambda = \frac{\langle h, x\rangle}{|x|^2}$。把这个代入$Th$的表达式：
  $$Th = \frac{\langle h, x\rangle}{|x|^2} Tx = \langle h, x\rangle \cdot \frac{Tx}{|x|^2}$$
  这时候令$u = \frac{Tx}{|x|^2}$，就有$Th = (u \otimes x)h$对所有$h \in H$成立，也就是$T = u \otimes x$。

另外，从你提到的秩最多1的算子形式也能推导：既然$T$是秩$\leq1$的算子，那它可以写成$T = h_1 \otimes h_2$的形式。现在结合$T|_{[x]^{\bot}} = 0$的条件：对任意$y \perp x$，都有$(h_1 \otimes h_2)y = \langle y, h_2\rangle h_1 = 0$。这要么意味着$h_1 = 0$（此时$T$是零算子，可写成$0 \otimes x$），要么意味着$\langle y, h_2\rangle = 0$对所有$y \perp x$成立——这说明$h_2$属于$[x]$（因为$[x]^{\bot}$的正交补就是$[x]$），即$h_2 = kx$（$k$是非零复数）。那$T = h_1 \otimes kx = (kh_1) \otimes x$，令$u = kh_1$，就得到了$T = u \otimes x$。

这样就完美解决了你的疑问：不管从空间分解还是秩1算子的一般形式出发，都能证明满足条件的$T$确实可以表示为$u \otimes x$的形式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者OSCAR