关于形如∫R(x,x^(m/n),x^(r/s),…)的积分求解方法的原理探究及拓展方法问询

最近啃积分的时候碰到一类挺有意思的题型：形如 $\int R(x,x^{{\frac{m}{n}},x}{\frac{r}{s}}...)dx$ 的积分，这里的 $R(x,x^{{\frac{m}{n}},x}{\frac{r}{s}})$ 是由x和x的各种分数次幂组成的有理分式。

课堂上老师教了一个固定方法：用变量替换 $x=t^k$，其中k是所有分数次幂分母的最小公倍数。还给我们举了个例子：

计算积分 $\int \frac{dx}{x-\sqrt{x}}$
先找所有指数分母的最小公倍数：lcm(1,2)=2，所以令 $x=t^2$，此时 $dx=2tdt$
把x和dx代入原积分，得到 $\int\frac{2tdt}{t^2-t}$，化简后是 $2\int\frac{dt}{t-1}$，积分结果是 $2\ln|t-1|+C$，再把t换回x就是 $2\ln|\sqrt{x}-1|+C$

不过老师只讲了“怎么做”，没说“为什么这么做”，我一直没搞明白这个替换方法的原理——为什么取分母的最小公倍数做替换，就能把原来带根号的积分转成我们能轻松处理的有理函数积分呢？

另外，除了这个通用替换法，有没有其他方法可以处理这类积分呀？想多了解几种思路，麻烦各位大佬指点指点～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者samsamradas