关于拓扑空间中既开又闭集合的边界性质的疑问

我的教授提出了这么一个问题：

设$(X, \tau)$是一个拓扑空间，$A \subset X$。如果$A$既是开集又是闭集，那么$\partial A$可以是开集吗？$\partial A$是闭集吗？

我自己梳理了一下思路：

• 首先，当$A$既开又闭时，它的内部$\text{int}(A) = A$，闭包$\text{cl}(A) = A$，根据边界的定义$\partial A = \text{cl}(A) \setminus \text{int}(A)$，直接就能得出$\partial A = \emptyset$（空集）。空集在拓扑空间里既是开集又是闭集，所以从这个角度看，$\partial A$确实可以是开集（毕竟空集满足），不过这应该是唯一的情况了。
• 另外，不管$A$是不是既开又闭，边界$\partial A$都可以表示为$\text{cl}(A) \cap \text{cl}(X \setminus A)$。因为闭集的交集仍然是闭集，所以任何集合的边界都是闭集，这一点是普遍成立的。

不过我有点拿不准，是不是还有什么特殊的拓扑空间或者特殊情况我没考虑到？有没有哪里分析错了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者RthurN