关于一般向量丛拉回与微分形式拉回定义一致性的疑问

最近啃向量丛和微分形式拉回的时候，碰到个让我头大的矛盾点，想请教一下大家：

先回顾一下通用的向量丛拉回定义：对于任意向量丛 $\pi: E \rightarrow M$，由函数 $f: N \rightarrow M$ 诱导的拉回丛是这样定义的：
$$f^∗(E) = { (p,e) \in N×E \ | \ f(p) = \pi (e) }$$

举个例子，交替形式丛的拉回丛的纤维 $(f^* (\Lambda^k M))_p$ 可以和 $\Lambda^k _{f(p)} M = \text{Alt} (T^* _{f(p)} M)$ 等同起来。

按照这个通用思路，微分形式的拉回自然应该这么定义：
$$f^* \omega : p \mapsto (p, \omega \circ f) = (p, f(p), \omega_{f(p)})$$
这里 $\omega_{f(p)} \in \text{Alt}(T ^* _{f(p)} M )$，所以这个 $f^* \omega$ 是拉回丛 $f^∗ (\Lambda^k M)$ 的一个截面。

但是后来我又看到一个专门针对微分形式的拉回定义：
$$f^\omega : p \mapsto (p, \omega_{f(p)} \circ d_p f)$$
这里的复合是针对每个输入向量来说的。显然这个定义下的 $f^ \omega$ 不再是 $f^∗(\Lambdak M)$ 的截面了，而是 $\Lambda^k N$ 的截面——因为 $\omega_{f(p)} \circ d_p f \in \text{Alt}(T ^* _{p} N )$。这两个定义看起来完全不一致，我实在搞不懂哪里出问题了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Elena