二次规划问题显式解推导的技术咨询

嘿，我来一步步帮你拆解这个问题的推导过程——其实你这个问题本质是把向量$u_d$投影到一个半空间的问题，比一般的二次规划要简单不少，咱们慢慢理清楚：

首先先明确问题细节：你要找的是最小化$\lVert u - u_d \rVert$的$u^$，约束是$Au \geq -b$，其中$A$是$1 \times 3$的行向量，$u$是$3 \times 1$列向量，$b$是标量。这个约束对应的半空间是$H = { u \in \mathbb{R}^3 \mid Au \geq -b }$，而$u^$就是$u_d$在这个半空间上的正交投影。

分两种情况讨论投影结果 #

我们可以根据$u_d$是否在半空间$H$内，分成两种情况：

• 情况1：$u_d$本身在半空间内，也就是满足$Au_d \geq -b$，这时候最优解就是$u^* = u_d$，对应你给出的解里$u_s=0$的情况——毕竟已经在可行域里了，没必要调整。
• 情况2：$u_d$不在半空间内，也就是$Au_d + b < 0$（这里你写的$\Psi$应该是$\Psi = Au_d + b$，原表达式里可能笔误写成了$Au + b$），这时候我们需要把$u_d$沿着约束边界的法向量方向投影到约束边界$Au = -b$上，因为正交投影的最短路径就是垂直于约束平面的方向。

推导调整项$u_s$的表达式 #

当$u_d$不在可行域时，我们假设最优解$u^* = u_d + u_s$，其中$u_s$是沿着约束平面法向量方向的调整向量：

1. 约束平面$Au = -b$的法向量是$A^{T$（因为$A$是行向量，线性函数$Au$的梯度方向就是$A}T$，也就是垂直于平面的方向），所以$u_s$一定是$A^T$的标量倍数，即$u_s = \lambda A^T$，其中$\lambda$是我们要求的标量系数。
2. 因为$u^{*$必须满足约束边界条件$Au}* = -b$，把$u^* = u_d + \lambda A^T$代入约束：
   $$
   A(u_d + \lambda A^T) = -b
   $$
3. 展开计算：
   $$
   Au_d + \lambda AA^T = -b
   $$
   把$Au_d + b$移到右边：
   $$
   \lambda AA^T = - (Au_d + b)
   $$
4. 解出$\lambda$：
   $$
   \lambda = -\frac{Au_d + b}{AA^T}
   $$
   这里$AA^T$其实就是$\lVert A \rVert_2^2$（$A$的二范数平方，因为$A$是$1 \times 3$向量，$AA^T$就是各元素平方和），肯定是正数，所以分母不为零。
5. 把$\lambda$代入$u_s = \lambda A^T$，再结合$\Psi = Au_d + b$，就得到：
   $$
   u_s = -\frac{A^T}{AAT} \Psi
   $$
   刚好和你给出的表达式一致！

验证一下结果 #

把$u^* = u_d + u_s$代入约束条件，看看是否满足：
$$
A(u_d + u_s) = Au_d + A\left(-\frac{A^T}{AAT} \Psi\right)
$$
代入$\Psi = Au_d + b$：
$$
= Au_d - \frac{AA^T}{AAT}(Au_d + b) = Au_d - (Au_d + b) = -b
$$
完美满足约束边界条件，而且因为我们是沿着正交方向调整的，所以$\lVert u^* - u_d \rVert$确实是最小的——这就是正交投影的核心性质：最短距离。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者thi