关于凹函数复合性质证明中f的递增性作用的疑问

嘿，我最近在推导一个凹函数复合的性质时遇到了困惑，想请教下大家：

我需要证明：给定两个实函数 $f: A\to \mathbb{R}$ 和 $g: B\to A$，如果 $f$ 在 $A$ 上是凹函数且单调递增，$g$ 在 $B$ 上是凹函数，那么复合函数 $f\circ g$ 在 $B$ 上也是凹函数。

我自己的推导过程是这样的：
因为 $g$ 是凹函数，根据凹函数的定义，对任意 $x,y\in B$ 和 $\lambda\in[0,1]$，有：
$$g(\lambda x + (1-\lambda) y) \geq \lambda g(x) + (1-\lambda) g(y)$$
接着我把这个不等式代入到函数 $f$ 中，得到了：
$$f(g(\lambda x + (1-\lambda) y)) \geq f( \lambda g(x) + (1-\lambda)g(y))$$
然后因为 $f$ 本身也是凹函数，再套用凹函数的定义，又能得到：
$$f( \lambda g(x) + (1-\lambda)g(y)) \geq \lambda f(g(x)) + (1-\lambda)f(g(y))$$

把这两步不等式连起来，看起来好像已经能推出 $f\circ g$ 是凹函数的结论了，但这里有个关键问题：我从头到尾都没用到$f$是单调递增这个条件！ 哪怕假设$f$是单调递减的，我好像也能写出同样的推导步骤？我肯定是忽略了某个重要的细节，有没有大佬能帮我理清这里的逻辑？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Heidegger