关于酉算子$U:L^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^d)$限制到子空间$L^2(G)$后的酉性疑问与推导验证

咱们来探讨这个问题：假设$U: L^2(\mathbb{R}d)\rightarrow L^2(\mathbb{R}d)$是酉算子，那把它限制在子空间$L^2(G)$（其中$G\subseteq \mathbb{R}^{d$）上之后，$U\vert_{L}2(G)}$是否仍为酉算子？这里我们将$L^{2(G)$中的函数$f$等同于$L}2(\mathbb{R}^d)$里满足$g=\chi_G f$的函数$g$（$\chi_G$是$G$的特征函数）。

先明确一个前提：$U\vert_{L^{2(G)}$是连续的，因为$L}2(G)$是$L^2(\mathbb{R}d)$的子空间。

我个人猜想这个限制后的算子应该还是酉算子，下面是我的推导过程：

1. 满射性验证 #

对于任意$f\in L^2(G)$，我们总能找到$g=\chi_G f\in L^2(\mathbb{R}d)$，使得$g$在$G$上的限制就是$f$。由于$U$是$L^2(\mathbb{R}d)$上的酉算子，它本身是满射的，因此对于$L^{2(G)$中的任意目标元素，总能找到对应的原像通过$U\vert_{L}2(G)}$映射得到，所以$U\vert_{L^2(G)}$是满射的。

2. 内积保持性验证 #

对于任意$f,g\in L^{2(G)$，我们把它们延拓为$L}2(\mathbb{R}^d)$中的函数$\chi_G f$和$\chi_G g$，利用$U$的酉性（即$\langle Ua, Ub\rangle = \langle a, b\rangle$，且$U^*U=I$，$I$为恒等算子）推导如下：

$$
\begin{align*}
\langle f,g\rangle_{L^2(G)}&=\langle \chi_G f,\chi_Gg\rangle_{L^2(\mathbb{R}d)}\
&=\langle U\chi_G f,U\chi_Gg\rangle_{L^2(\mathbb{R}d)}\
&=\langle \chi_G f,U^{*U\chi_Gg\rangle_{L}2(\mathbb{R}^d)}\
&=\langle f,U^{*U\chi_Gg\rangle_{L}2(G)}\
&=\langle U^{*Uf,g\rangle_{L}2(G)}\
&=\langle Uf,Ug\rangle_{L^2(G)}
\end{align*}
$$

综上，$U\vert_{L^2(G)}$满足连续、满射、保持内积这三个酉算子的核心条件，所以它应该是酉算子。

有没有朋友有不同的思路，或者发现推导里的疏漏之处？欢迎一起交流讨论～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MackeyTopology