利用中值定理证明链式法则的有效性问询

嘿，咱们来聊聊你用中值定理证链式法则这个思路哈！

首先先纠正个小笔误：你写的式(1)里分子应该是$(g\circ f)(x+h)-(g\circ f)(x)$，后面的$\frac{f(x+h)-f(h)}{h}$也得改成$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$，不然式子本身就不成立啦～

接下来看你的核心证明逻辑：

我们想求：$$(g\circ f)'(x) =\lim\limits_{h \to 0}\frac{(g\circ f)(x + h) - (g\circ f)(x)}{h} \tag{1}$$
由中值定理可知，存在$a$属于区间$[f(x),f(x+h)]$（或者$[f(x+h),f(x)]$，取决于$f(x+h)$和$f(x)$的大小），使得：
$$g(f(x+h))-g(f(x))=(f(x+h)-f(x))g'(a)$$
把这个代入(1)式得到：
$$(g\circ f)'(x) =\lim\limits_{h \to 0}g'(a)\frac{f(x + h) - f(x)}{h} =g'(f(x))f'(x)$$
理由是当$h$趋近于0时，区间$[f(x),f(x+h)]$会收缩到点$f(x)$，所以$a$会趋近于$f(x)$。

得说清楚，这个证明逻辑上是自洽的，但它推导出来的定理比咱们通常学的链式法则要“弱”一些。

为啥这么说呢？你这里默认了一个隐含条件：当$h\to0$时，$g'(a)$会趋近于$g'(f(x))$。这个推论其实需要$g'$在$f(x)$点是连续的，但咱们常规的链式法则定理里，只要求$g$在$f(x)$点可导就行，完全不需要$g'$连续。

举个直观的例子：如果$g'$只是在$f(x)$点可导，但在该点不连续，那即便$a$趋近于$f(x)$，$g'(a)$也不一定会趋近于$g'(f(x))$，这时候你证明里的极限推导就站不住脚了。

所以总结下来：你的证明是有效的，但它只适用于$g'$连续的特殊情况，覆盖的场景比标准链式法则要窄。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者aidaGoG