对称矩阵方程$X - X^{-1} = W$的求解方法咨询

嘿，这个问题其实利用对称矩阵的特征值分解就能轻松解决，我一步步给你讲清楚：

首先先明确一个关键前提：因为$X$是对称可逆矩阵，所以$X^{-1}$也必然对称（对称矩阵的逆矩阵依然保持对称性），那么$W = X - X^{-1}$自然也是对称矩阵——这意味着我们可以对$W$做正交特征值分解，这是整个解法的核心。

具体步骤如下：

• 第一步：对对称矩阵$W$进行特征值分解，得到$W = Q\Lambda Q^T$。这里$Q$是正交矩阵（它的列是$W$的单位正交特征向量），$\Lambda$是对角矩阵，对角线元素就是$W$的特征值$\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$。
• 第二步：假设我们要求的对称矩阵$X$也可以表示为$X = Q\Sigma Q^T$（所有对称矩阵都能做这样的正交对角化，而且可以复用$W$分解得到的正交矩阵$Q$）。把这个形式代入原方程：
  $$
  X - X^{-1} = Q\Sigma Q^T - Q\Sigma^{-1}QT = Q(\Sigma - \Sigma^{-1})QT
  $$
  而原方程等于$W = Q\Lambda Q^{T$，所以两边同时左乘$Q}T$、右乘$Q$，就能得到对角矩阵的等式：$\Sigma - \Sigma^{-1} = \Lambda$。
• 第三步：解对角矩阵的元素方程。因为$\Sigma$和$\Lambda$都是对角矩阵，它们的每个对角元满足对应的一元方程：$\sigma_i - \frac{1}{\sigma_i} = \lambda_i$（$\sigma_i$是$\Sigma$的第$i$个对角元）。整理成二次方程：$\sigma_i^2 - \lambda_i\sigma_i - 1 = 0$，用求根公式可以得到：
  $$
  \sigma_i = \frac{\lambda_i \pm \sqrt{\lambda_i^2 + 4}}{2}
  $$
  两个解都有效（都不为0，保证$X$可逆），如果需要$X$是正定矩阵，选正根即可（因为$\sqrt{\lambda_i^2 + 4} > |\lambda_i|$，加号对应的根为正，减号对应的根为负）。
• 第四步：构造$X$。把选好的$\sigma_i$组成对角矩阵$\Sigma$，代入$X = Q\Sigma Q^T$，这个$X$就满足原方程$X - X^{-1} = W$了。

举个简单例子辅助理解：假设$W$是2阶对角矩阵$\begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & 2\end{pmatrix}$，那么$Q$就是单位矩阵，$\Lambda=W$。对每个特征值计算：$\sigma_1 = \frac{1+\sqrt{1+4}}{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\sigma_2 = \frac{2+\sqrt{4+4}}{2} = 1+\sqrt{2}$，那么$X$就是$\begin{pmatrix}\frac{1+\sqrt{5}}{2} & 0 \ 0 & 1+\sqrt{2}\end{pmatrix}$，代入验证的话，$X^{-1}$是$\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{5}-1}{2} & 0 \ 0 & \sqrt{2}-1\end{pmatrix}$，$X - X^{-1}$正好等于$W$，完全符合方程。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者dhs4402