关于一阶非线性微分方程$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=\dfrac{y-3}{x^2+y^2}$（满足$y(0)=1$）的图像特征相关问题求解

我最近在研究这个一阶非线性微分方程，初始条件是$y(0)=1$，想搞清楚解函数$y(x)$的图像形态。目前我已经通过启发式分析得到了一些结论，现在还有几个问题想请教大家，先把我整理的现有信息分享出来：

已推导的图像特征 #

• 对于所有$x>0$，$y(x)$单调递减；而且在$x=0$处二阶导数$\dfrac{\text{d}^{2y}{\text{d}x}2} = -10$，说明这里函数是凹向下的。
• 当$x \rightarrow \infty$时，$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=0$，所以$y(x)$有下界，存在水平渐近线；同理，$x \rightarrow -\infty$时，导数极限也是0，同样存在水平渐近线。
• 我把原微分方程整理成关于$y$的二次式，通过判别式分析（反证法），可以证明$y(x)$一定会和$x$轴相交，也就是说最终$y(x)$会变成负数。这意味着下界是负数，水平渐近线在$x$轴下方。由此还能推出，在某个正$x$处二阶导数为0，函数在这里改变凹凸性。
• $y(x)$会在某个最大的$x_0<0$处取得最大值，且$y(x_0)=3$。这里有两种情况：要么在所有$x<x_0$时，$y(x)$是常数函数3；要么这个最大值是唯一的驻点（因为$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=0 \iff y=3$），这种情况下$y(x)$会在某个负$x$处和$x$轴相交，而且左右两侧的水平渐近线可能相等。

待求解的问题 #

我现在还想搞清楚以下几个点，不知道有没有办法推导出来：

• 是否对所有正$x$，都满足$-2 \leq \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} < 0$？
• 二阶导数为0（即函数凹凸性改变）的点的坐标是什么？
• 函数在$x<0$区域的凹凸性如何？
• $y(x)$与$x$轴交点的坐标，或者至少能给出一个范围？
• 水平渐近线的方程，或者其取值范围？
• 那个最大值点（假设当$x$足够小时$y(x)$不是常数）是否存在？如果存在，它的$x$坐标是什么，或者能给出范围吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hello