关于仅利用Beta函数证明椭圆积分等式(2)的技术问询

我最近在研究这个积分：
$$I(k)=\int_{0}^{{\pi/2}\frac{\sqrt{1+\sqrt{1-k}2\sin^{2x}}}{\sqrt{1-k}2\sin^2x}}dx\tag{1}.$$

过程中我注意到，当$k=1/3$时，这个积分可以转化为：
$$I(1/3)=\sqrt{3}\int_{0}^{{\pi/2}\frac{\sqrt{3+\sqrt{\cos}2x+8}}}{\sqrt{8+\cos^{2x}}dx=\frac{\sqrt{6}\Gamma{(1/4)}}2}{8\sqrt{\pi}}\tag{2}.$$

另外我还推导出了$I(k)$的一般表达式，它和第一类完全椭圆积分相关：
$$I(k)=\frac{\sqrt{2}K(\sqrt{\frac{2k}{1+k}})}{\sqrt{1+k}}\tag{3}.$$
这里的$K(k)$是第一类完全椭圆积分，定义为：
$$K(k)=\int_{0}^{{\pi/2}\frac{dx}{\sqrt{1-k}2\sin^2x}},\tag{4}$$

经过进一步推导，我发现等式(2)其实等价于：
$$\Re(K(3+2\sqrt{2}))=\frac{\Gamma{(1/4)}^2\left(\frac{1}{8}-\frac{\sqrt{2}}{16} \right)}{\sqrt{\pi}}\tag{5}.$$

现在我的问题是：能不能仅利用Beta函数来证明等式(2)？ 麻烦各位帮忙解答，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者User-Refolio