关于EGMO衍生数论问题：寻找存在对应本原子集的整数u

最近我在解EGMO 2018第二题的过程中，琢磨构造方法的时候意外衍生出了这么一个数论问题，卡了好一阵子没头绪，想请大家帮忙看看：

首先先明确几个核心定义：

• 给定集合 $A={1+\frac{1}{k},k \in \mathbb{N}}$
• 我们把A的非空有限可重复子集K称为「本原」的，如果不存在另一个A的非空有限可重复子集U，同时满足两个条件：一是U中所有元素的乘积和K的乘积相等，且这个乘积是整数；二是U的元素个数比K更少（也就是$|U|<|K|$）

我的问题是：如何找出所有整数u，使得存在一个本原子集K，其中包含元素$1+\frac{1}{u}$？

我先摸索出了几个小结论：

• 初步验证后，5应该不具备这个性质；
• 而像2、4、8这类2的幂次，都满足条件。比如对于任意$2^k$，我们可以构造这样的本原子集：

取k个$(1+1)$，再加上一个$(1+\frac{1}{2^k})$，它们的乘积是：
$$\underbrace{(1+1) \times \dots \times (1+1)}_{k个} \times (1+\frac{1}{2^k}) = 2^k + 1$$
这个结果是整数。

接下来用反证法证明这个子集是本原的：假设存在符合条件的更小子集U，它的乘积也是$2^k +1$。但A中的元素最大就是2（也就是当k=1时的$1+\frac{1}{1}$），所以$2^{|U|} \geq 2^k +1$，由此可得$|U| > k$。而我们构造的子集K的元素个数是$k+1$，这就意味着$|U| \geq k+1 = |K|$，和「U的元素个数比K更少」的假设矛盾，所以这样的U不存在，这个K确实是本原子集。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lucid