有理数区间[0,1]∩ℚ的不动点性质（FPP）探究

针对你提出的问题——有理数区间 $X = [0,1] \cap \mathbb{Q}$ 是否具有不动点性质（FPP），也就是是否存在一个连续函数 $f: X \rightarrow X$ 没有不动点，答案是X不具备不动点性质，这样的无不动点连续函数确实存在。

你的核心思路完全正确：$[0,1] \cap \mathbb{Q}$ 确实同胚于一个没有孤立点的可数度量空间。拓扑学里有个经典结论：所有非空、无孤立点的可数度量空间都是互相同胚的，而这类空间都不具有不动点性质，因此 $X$ 自然也不具备。

如果你需要一个具体的构造例子，我们可以这么做：

• 首先，$X$ 和 $\mathbb{Q} \cap (0,1)$ 是同胚的（都是无孤立点的可数度量空间）。我们先在 $\mathbb{Q} \cap (0,1)$ 上构造一个无不动点的连续函数：比如定义 $f(q) = q + \frac{1}{3}$ 当 $q + \frac{1}{3} < 1$，否则 $f(q) = q - \frac{2}{3}$。这个函数把 $\mathbb{Q} \cap (0,1)$ 映射到自身，而且显然没有不动点（因为 $q + \frac{1}{3} = q$ 或 $q - \frac{2}{3} = q$ 都不可能成立），同时它是连续的，本质就是分段平移。
• 然后借助 $X$ 和 $\mathbb{Q} \cap (0,1)$ 的同胚映射，把这个函数“转移”到 $X$ 上，就得到了 $X$ 上的无不动点连续自映射。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者NPD