关于Rudin习题6.3(a)的疑问：构造反例时的错误排查

算力阿峰

2026-4-20

你构造的这个“反例”其实不成立，问题出在对Riemann-Stieltjes积分可积性定义的理解上，我来帮你拆解一下：

先明确习题核心条件与你的函数情况

习题说明$f \in \mathscr{R}(B_1)$当且仅当$f(0+) = f(0)$，你的函数定义是：

$f(x)=7$，当$x<0$
$f(x)=0$，当$x\ge0$

这里$f(0)=0$，$f(0+)$是$x$从右侧趋近0的极限，显然也是0，所以你的函数满足$f(0+)=f(0)$的条件，按照习题结论它应该是可积的——这和你觉得它不可积的判断矛盾，问题就出在你对分划的选择上。

你对分划计算的错误点

你假设分划$P={x_0=-1,x_1,\dots,x_n=1}$中$0 \in (x_{k-1}, x_k)$（分划是递增序列，应该是$x_{k-1}<0<x_k$），也就是分划里没有把0作为分点。这时候计算的上和$U(f,P,B_1)=7$、下和$L(f,P,B_1)=0$确实没错，但Riemann-Stieltjes可积的定义是：

对于任意$\varepsilon>0$，存在一个分划$P$，使得$U(f,P,B_1)-L(f,P,B_1)<\varepsilon$

你只考虑了不包含0作为分点的分划，但完全可以构造包含0作为分点的分划：比如取$P={-1,0,1}$，这时候计算增量$\Delta B_1$：

在区间$[-1,0]$，$\Delta B_1 = B_1(0)-B_1(-1)=0-0=0$
在区间$[0,1]$，$\Delta B_1 = B_1(1)-B_1(0)=1-0=1$

对应的上和$U(f,P,B_1) = \sup_{[-1,0]}f \cdot 0 + \sup_{[0,1]}f \cdot 1 =7\cdot0 +0\cdot1=0$
下和$L(f,P,B_1) = \inf_{[-1,0]}f \cdot0 + \inf_{[0,1]}f \cdot1=7\cdot0+0\cdot1=0$

这时候上和与下和的差为0，远小于任意给定的$\varepsilon>0$，满足可积的定义。而且积分值$\int_{-1}^1 f dB_1=0=f(0)$，完全符合习题结论。