幂等线性变换的像与零空间之和等于原向量空间的证明求助

嘿，你已经把简单的那半边搞定了，厉害！我来帮你突破第二部分的瓶颈——证明每个$V$里的向量都能拆成像空间元素加零空间元素。

其实这个证明的关键是一个超经典的“拆分技巧”，你完全不需要绕远路，直接从任意向量入手就行：

核心思路：主动构造向量的分解式 #

我们的目标是：对任意$x \in V$，找到$u \in \operatorname{Im}(T)$和$v \in \operatorname{Nu}(T)$，使得$x = u + v$。

直接把$x$拆成下面这样：
$$x = T(x) + (x - T(x))$$

现在分别验证这两个部分的归属：

1. 第一部分$T(x)$：根据像空间的定义，它显然属于$\operatorname{Im}(T)$——毕竟它就是$T$作用在$x$上的输出，完全符合像空间的元素要求。
2. 第二部分$x - T(x)$：我们要证明它在零空间里，只需要算一下$T$作用在它上面的结果：
   $$T(x - T(x)) = T(x) - T(T(x))$$
   因为$T$是幂等的（$T\circ T = T$），所以$T(T(x)) = T(x)$，代入后就得到：
   $$T(x) - T(x) = 0$$
   这就说明$x - T(x)$满足零空间的定义（$T$作用后得到零向量），所以它属于$\operatorname{Nu}(T)$。

这样一来，任意$x \in V$都能表示成$\operatorname{Im}(T)$中的元素加上$\operatorname{Nu}(T)$中的元素，也就是$x \in \operatorname{Im}(T) + \operatorname{Nu}(T)$，这就证明了$V \subseteq \operatorname{Im}(T) + \operatorname{Nu}(T)$。

结合你已经证明的$\operatorname{Im}(T) + \operatorname{Nu}(T) \subseteq V$，两边的包含关系都成立，自然就有$\operatorname{Im}(T) + \operatorname{Nu}(T) = V$了。

顺便说一句，你之前尝试从$w=T(a)+b$入手的思路有点绕，证明“集合A包含于集合B”的标准操作是：取A中任意元素，证明它属于B，下次可以直接从这个起点开始哦~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Juan Cruz Parada