关于中心化矩阵与Z矩阵乘积满列秩的证明思路问询

嗨，我来给你几个实用的思路提示，帮你搞定这个问题：

• 先明确中心化矩阵的本质：$I_n - \frac{1}{n}J_n$是将向量投影到与全1向量$\mathbf{1}_n$正交的子空间$S = { \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n \mid \mathbf{1}_n^T \mathbf{v} = 0 }$上的投影矩阵，它的秩是$n-1$。

• 利用已知的$\text{rank}(X) = p$条件：这说明$\mathbf{1}_n$和Z的列向量是线性无关的——换句话说，Z的任何一列都不能被$\mathbf{1}_n$线性表出，同时Z自身的列向量也是线性无关的（如果Z的列线性相关，那$X=[\mathbf{1}_n\ Z]$的秩必然小于p，和已知矛盾）。

• 用线性无关的定义反证：假设存在非零向量$\mathbf{a} \in \mathbb{R}^{p-1}$，使得$(I_n - \frac{1}{n}J_n)Z\mathbf{a} = 0$。展开这个等式：
  $$Z\mathbf{a} - \frac{1}{n}J_n Z\mathbf{a} = 0$$
  注意$J_n Z\mathbf{a} = \mathbf{1}_n (\mathbf{1}_n^T Z\mathbf{a})$，所以上式可以改写为$Z\mathbf{a} = c\mathbf{1}_n$，其中$c = \frac{1}{n}\mathbf{1}_n^T Z\mathbf{a}$是一个常数。

  • 如果$c \neq 0$，那$\mathbf{1}_n$就能被Z的列线性表出，这直接和$\text{rank}(X)=p$（$\mathbf{1}_n$与Z列线性无关）矛盾；
  • 如果$c = 0$，那$Z\mathbf{a}=0$，但Z的列是线性无关的，所以只能$\mathbf{a}=0$，这和我们假设$\mathbf{a}$非零矛盾。
    两种情况都导出矛盾，说明不存在这样的非零$\mathbf{a}$，也就证明了$(I_n - \frac{1}{n}J_n)Z$的列是线性无关的，即它是满列秩的。

• 补充一个秩不等式的辅助视角：我们知道秩的不等式$\text{rank}(AB) \geq \text{rank}(A) + \text{rank}(B) - n$，这里$A=I_n - \frac{1}{n}J_n$（秩$n-1$），$B=Z$（秩$p-1$），代入得$\text{rank}((I_n - \frac{1}{n}J_n)Z) \geq (n-1)+(p-1)-n = p-2$，再结合前面的反证法，就能确定它的秩恰好是$p-1$，也就是满列秩。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jason 1