寻求AOPS长期未决不等式的简洁代数证明

我发现下面这个不等式在AOPS上已经悬而未决很久了，形式非常优美，我自己尝试过证明，但一直没成功：

对任意正数$a,b,c$，证明：
$$\sqrt{\frac{2(a^2+b2+c^2)}{ab+bc+ca}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}\cdot\frac{b+c}{a}\cdot\frac{c+a}{b}}\ge \sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{c+b}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}.$$

这个问题还有对应的几何等价形式：
$$\sum_{cyc}\sin\frac A2 \le 1 + \sqrt{\frac {s^2 - 8Rr - 2r^2}{2R(4R + r)}}.$$

我更倾向于用代数方法来证明它。考虑到等号在$a=b=c$时成立，而且$a^2+b2+c^2\ge ab+bc+ca$，我一开始尝试证明一个更强的不等式：
$$\sqrt{2}+\sqrt{\frac{a+b}{c}\cdot\frac{b+c}{a}\cdot\frac{c+a}{b}}\ge \sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{c+b}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}.$$

接着我做了变量替换：
$$x=\sqrt{\frac{a+b}{c}};y=\sqrt{\frac{c+b}{a}};z=\sqrt{\frac{a+c}{b}}$$
显然$x,y,z>0$，而且可以推出$xyz\ge 2\sqrt{2}$。这样原更强不等式就转化为要证明：
$$\sqrt{2}+xyz\ge x+y+z.$$

不过现在我发现这个更强的不等式是不成立的，卡在这儿了。

如果有人能帮忙证明或推翻我提出的这个不等式，或者分享任何相关的思路和想法，我都会非常感激。另外，感谢@RiverLi提供的证明，但那个证法难度较高，有没有更简洁优雅的证明思路呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user979185