关于代数教材中$(G_1 imes G_2)/G_2$表达式有效性的疑问

嘿，这个问题太戳中初学群论的痛点了——我当年第一次见这种写法的时候也愣了半天，完全跟你一样的困惑：明明$G_2$不是$G_1\times G_2$的子群啊，怎么能拿来做商群？

其实这里是群论里一个约定俗成的简写习惯：教材里写的$G_2$，并不是你理解的那个独立群$G_2$，而是它在直积$G_1\times G_2$里的一个同构嵌入副本，具体来说就是子群：

{(e₁, g₂) | g₂ ∈ G₂}

这里$e₁$是$G_1$的单位元。

接下来验证一下这个副本的合理性：

• 首先它确实是$G_1\times G_2$的子群：单位元$(e₁,e₂)$在里面，对任意两个元素$(e₁,h₂)$和$(e₁,k₂)$，它们的乘积是$(e₁,h₂k₂)$也在里面，逆元$(e₁,h₂^{-1})$也在里面，满足子群的判定条件。
• 其次它还是正规子群：对任意$(g₁,g₂) ∈ G_1\times G_2$和$(e₁,h₂)$ ∈ 这个副本，计算共轭元素：

  (g₁,g₂)(e₁,h₂)(g₁,g₂)⁻¹ = (g₁e₁g₁⁻¹, g₂h₂g₂⁻¹) = (e₁, g₂h₂g₂⁻¹)
  

  结果显然还在这个嵌入副本里，符合正规子群的定义。

所以教材里写的$(G_1\times G_2)/G_2$，本质上是$(G_1\times G_2)/{(e₁, g₂) | g₂ ∈ G₂}$，这个商群是完全合法的，而且根据群同构定理，它还和$G_1$同构——这也是这种简写流行的原因，毕竟大家都默认知道背后的嵌入，写起来省事儿多了。

总结一下：这个表达式是有效的，只是教材用了圈内默认的简写，没把隐含的嵌入细节写出来，才导致你产生了困惑～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者azheng