关于证明函数f(a,b,c)=(a+b+c)³+(a+b)²+a是单射的方法问询

嘿，我来帮你理清楚这个单射的证明思路～你一开始想用反证法的方向是对的，但其实我们可以从函数里的主导项入手，逐步推导，反而更直接清晰：

首先，先给几个变量简化一下，方便后续讨论：

• 令$S = a + b + c$（三个变量的和）
• 令$T = a + b$（前两个变量的和）

这样原函数可以写成$f(a,b,c) = S^3 + T^2 + a$，而且根据自然数的定义，我们有$T \leq S$（因为$c = S - T \geq 0$），同时$a \leq T$（因为$b = T - a \geq 0$）。

现在假设$f(a,b,c) = f(d,e,f)$，对应地令$S' = d + e + f$，$T' = d + e$，那么我们有：
$$S^3 + T^2 + a = (S')^3 + (T')^2 + d$$

接下来分三步推导：

第一步：证明$S = S'$ #

$S^3$是这个函数里增长最快的项，我们先对比$S$和$S'$的大小：

• 如果$S > S'$，那么$S \geq S' + 1$，代入得：
  $$S^3 \geq (S' + 1)^3 = (S')^3 + 3(S')^2 + 3S' + 1$$
  而左边的$T^2 + a \leq S^2 + S$（因为$T \leq S$，$a \leq T \leq S$），右边的$(T')^2 + d \leq (S')^2 + S'$。
  此时左边整体至少是$(S')^3 + 3(S')^2 + 3S' + 1$，右边最多是$(S')^3 + (S')^2 + S'$，显然左边大于右边，和$f(a,b,c)=f(d,e,f)$矛盾。
• 如果$S < S'$，同理可得左边小于右边，同样矛盾。
  所以只能有$S = S'$。

第二步：证明$T = T'$ #

当$S = S'$时，原等式简化为：
$$T^2 + a = (T')^2 + d$$
同样用类似的思路对比$T$和$T'$：

• 如果$T > T'$，那么$T \geq T' + 1$，代入得：
  $$T^2 \geq (T' + 1)^2 = (T')^2 + 2T' + 1$$
  左边的$a \geq 0$，所以左边至少是$(T')^2 + 2T' + 1$；右边的$d \leq T'$，所以右边最多是$(T')^2 + T'$。
  显然左边大于右边，矛盾。
• 如果$T < T'$，同理左边小于右边，矛盾。
  所以只能有$T = T'$。

第三步：证明$a=d$，进而推出$b=e$、$c=f$ #

当$T = T'$时，等式进一步简化为$a = d$。
因为$T = a + b$，$T' = d + e$，且$a=d$、$T=T'$，所以$b = e$。
又因为$S = a + b + c$，$S' = d + e + f$，且$a+b=d+e$、$S=S'$，所以$c = f$。

综上，当$f(a,b,c)=f(d,e,f)$时，必然有$(a,b,c)=(d,e,f)$，这就证明了$f$是单射。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者bel0906