关于形如$4n^2+1$的质数是否有无穷多个的思路疑问

最近我碰到这么一个问题：

Are there infinitely many primes of the form $4n^2+1$

我一开始的思路是这样的：如果我们要找这种形式的质数，完全可以先把奇数$n$排除在外——因为当$n$取偶数时，$4n^{2+1$会转化为$4m+1$的形式（比如设$n=2m$，代入后就能得到$4*(4m²)+1=4k+1$）。而我们知道，通过修改欧几里得证明质数无穷多的经典方法，能够证明**形如$4m+1$的质数有无穷多个**。那是不是就能顺理成章地推出$4n}2+1$型的质数也有无穷多个呢？

但我总觉得这里面藏着一个微妙的错误，就是想不通问题到底出在哪。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Anuj Jha