关于求乘积$(1-x^2)(1-x^3)^9$中$x^{18}$项系数的疑问

嗨，我来帮你把这个问题的逻辑捋清楚～

首先，我们可以把这个乘积拆成两部分来看：
$$(1-x^2)(1-x3)^9 = 1 \cdot (1-x³⁾9 - x^2 \cdot (1-x³⁾9$$

要求整个式子中$x^{18}$的系数，其实就是计算两部分对应系数的差：

• 第一部分：$1 \cdot (1-x³⁾9$里$x^{18}$的系数
• 第二部分：$x^2 \cdot (1-x³⁾9$里$x^{{18}$的系数（也就是$(1-x}3)^9$里$x{16}$的系数）

你已经发现了，要在$(1-x³⁾9$中找到$x^{16}$的项，需要满足通项里的$3r=16$，但$r$不是自然数——这就意味着这一项根本不存在，它的系数是0！

那这样一来，整个乘积里$x^{{18}$的系数就等于第一部分的系数减去0，也就是$(1-x}3)^9$中$x{18}$的系数。

接下来计算这部分系数：用二项式定理，$(1-x³⁾9$的通项公式是：
$$T_{r+1} = \binom{9}{r} (-1)^r (x³⁾r = \binom{9}{r} (-1)^r x^{3r}$$

要得到$x^{18}$，令$3r=18$，解得$r=6$。代入通项公式计算系数：
$\binom{9}{6} (-1)^6 = \binom{9}{3} \times 1 = 84$（因为组合数$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$，$\binom{9}{6}=\binom{9}{3}=84$，而$(-1)^6=1$）

所以最终的系数就是84啦，这就是你书里结论的由来～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math forever