关于$H^1(\Omega)$完备性证明中导数序列柯西性的疑问

嘿，这个疑问其实是因为你没完全吃透$H^1(\Omega)$这个Sobolev空间的核心——它的范数定义！

咱们先回忆一下$H^{1(\Omega)$（也就是$W}{1,2}(\Omega)$）的标准范数：
$$\lVert u \rVert_{H^1(\Omega)} = \left( \lVert u \rVert_{L^2(\Omega)}2 + \sum_{j=1}^n \lVert \partial_j u \rVert_{L^2(\Omega)}2 \right)^{1/2}$$

当我们说${u_k}$是$H^1(\Omega)$中的柯西序列时，指的是相对于这个Sobolev范数的柯西序列。换句话说，对任意给定的$\epsilon>0$，总能找到一个足够大的整数$N$，只要$h,k > N$，就有：
$$\lVert u_h - u_k \rVert_{H^1(\Omega)} < \epsilon$$

把这个范数展开后平方，就能得到：
$$\lVert u_h - u_k \rVert_{L^2}2 + \sum_{j=1}^n \lVert \partial_j u_h - \partial_j u_k \rVert_{L^2}2 < \epsilon^2$$

这里每一项都是非负的，所以单独拿出来看，每一项必然都小于$\epsilon^2$（自然也小于$\epsilon$，毕竟$\epsilon$是正数）。这就直接推出了两个结论：

• ${u_k}$本身是$L^2(\Omega)$中的柯西序列，也就是$\lVert u_h - u_k \rVert_{L^2} \to 0$
• 对每个$j=1,\dots,n$，${\partial_j u_k}$都是$L^2(\Omega)$中的柯西序列，也就是$\lVert \partial_j u_h - \partial_j u_k \rVert_{L^2} \to 0$

教授之所以直接这么说，是因为在Sobolev空间的语境里，大家默认“柯西序列”是相对于空间自带的范数而言的，而$H^{1$的范数已经把函数本身和一阶导数的$L}2$范数打包在一起了。所以这两个序列的柯西性根本不是“假设”，而是$H^1$柯西序列定义的直接推论哦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者deomanu01