关于上半空间内球面在映射$f^{-1}$下仍映射为球面的几何证明及$n=2$时的推导困惑

我最近在研究这个问题：想搞清楚上半空间里的球面在$f^{{-1}$映射下为啥还是球面，但卡在了从公式(13)推导$f}{-1}$表达式这一步——哪怕是$n=2$的简单情况，我都没算出来。总感觉这里面肯定有几何层面的直观思路，但就是摸不到门路，来跟大家聊聊我的尝试和困惑。

我的推导尝试（以$n=2$为例） #

• 先设定参数：取$p=(x,y)$，$p_0=(0,-2)$，那么向量$p-p_0=(x,y+2)$，它的模长平方就是$|p-p_0|^2=x2+(y+2)^2$
• 代入映射公式得到$f(p)$的具体形式：
  $$
  f(p)=\frac{(4x,4-x^2-y2)}{x^2+(y+2)2}
  $$
• 把$f(p)$拆成两个分量，设$f(p)=(f_1,f_2)$，就有：
  $$
  f_1=\frac{4x}{x^2+(y+2)2},~~~f_2=\frac{4-x^2-y2}{x^2+(y+2)2}
  $$
• 理论上接下来我应该解出$x=x(f_1,f_2)$和$y=y(f_1,f_2)$（也就是下面的公式(1)），这样就能得到$f^{-1}$的表达式了：
  $$
  x=x(f_1,f_2),~~~y=y(f_1,f_2) \tag{1}
  $$
  但一方面，我感觉$f$的形式很像反演变换，应该有更简洁的几何方法，不用硬算代数表达式；另一方面，这个代数推导实在太繁琐了，我有点犯懒就暂时搁置了。

后续补充（2023-12-11） #

后来我仔细看了下图里的公式(13)，发现可以推导出这个关系：
$$
f(p)+(0,...,0,1)=4\frac{p-p_0}{|p-p_0|^2}
$$
两边取模长的话，就能得到：
$$
|f(p)+(0,...,0,1)|=\frac{4}{|p-p_0|}
$$
整理一下就是：
$$
|f(p)+(0,...,0,1)|\cdot |p-p_0| =4
$$
如果令$q=f(p)$，那么$p=f^{-1}(q)$，代入上式就有：
$$
|q+(0,...,0,1)|\cdot |f^{-1}(q)-p_0| =4 \tag{2}
$$
不过现在我发现之前画的红线完全不对：只有以$(0,...,0,-1)$为球心的球面，经过$f^{-1}$映射后才会变成球面，而且这个球面并不包含在上半空间里。

注：上述提到的公式(13)及相关图示来自do Carmo《Riemannian Geometry》的第177-178页。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Enhao Lan