关于可测随机变量X满足$E[X|\mathcal{F}]=X$的证明及相关期望表达式的解释问询

• 我现在正尝试写出当X关于非平凡σ代数$\mathcal{F}$可测时，$E[X|\mathcal{F}] = X$的证明。我猜这个问题可能已经有人问过了，如果有人知道相关的讨论内容，麻烦告诉我一下~
• 我已经知道，利用条件期望的唯一性以及X和$E[X|\mathcal{F}]$的可测性，可以推出$E[X|\mathcal{F}] = X \ \text{a.s.}$（几乎必然相等）。不过我想通过下面的式子(1)来展开证明，但不知道该怎么继续：
  $$E[E[X|\mathcal{F}]1_f] = E[X1_f] \tag1$$
  想问问这个思路可行吗？如果可行的话，后续该怎么推导呢？
• 另外，我看的大部分教材都没有明确解释$E[X1_f]$的含义，所以我现在对$E[X1_f]$或者$E[E[X|\mathcal{F}]1_f]$到底表示什么感到困惑。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TJT