关于Borel可测集的识别、可测函数及测度延拓推广的技术问询

问题背景 #

我目前正在研读Richard F. Bass的《Real Analysis for Graduate Students: Measure and Integration Theory》一书，在第17页的习题9中遇到了如下命题需要证明：

假设$X$为实数集，$B$是$\mathbb{R}$上的Borel $\sigma$-代数，$m,n$是可测空间$(X,B)$上的两个测度，满足对任意有限开区间$(a,b)$（即$-\infty <a<b< \infty$），都有$m((a,b))=n((a,b))< \infty$。证明：对任意Borel可测集$A \in B$，都有$m(A)=n(A)$。

我已经完成了$A$为开集时的证明，但现在卡在了如何刻画Borel可测集这一步。我最初的思路是：如果$A$是Borel可测集，那么$A$与其内部$A^\circ$的差集$A - A^\circ$关于自然Lebesgue测度（即满足$\mu((a,b))=b-a$的测度）是零测集，但这个想法显然不成立——胖康托集（fat Cantor set）就是典型的反例。

我的两个核心疑问 #

问题1：Borel可测集的本质与直观识别方式 #

我希望能得到关于“Borel可测集到底是什么”的清晰解释，以及至少从直观层面，如何判断一个集合是否属于Borel可测集？

问题2：原习题的推广是否成立？ #

原问题似乎隐含了一个更一般的结论：对于任意可测空间$(X,\mathcal{A})$，如果存在子集族${E_i}{i \in I}$使得$\mathcal{A}$是由该子集族生成的$\sigma$-代数（即$\mathcal{A}=\sigma({E_i}{i \in I})$），且${E_i}_{i \in I}$对可数交封闭（也就是任意可数个$E_i$的交集仍属于这个子集族），同时测度$n,m$满足对所有$i \in I$，$n(E_i)=m(E_i)< \infty$，那么对所有$U \in \mathcal{A}$，都有$n(U)=m(U)$。这看起来是一种不用明确知道测度在整个$\sigma$-代数上的定义，就能判定两个测度相等的方法。

请问这个推广结论是正确的吗？还是说只有在实数集的Borel可测集这个特殊场景下才成立？如果这个推广不对，那应该如何正确地将原问题推广到任意可测空间？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Amir Mg