关于θₖ(n)的出现场景、相关恒等式及深层关联的技术问询

大家好，之前我在一篇帖子里定义了函数$\theta_k(n)$：
$$\theta_k(n) = \frac{S(n-k)}{V(n)}$$
这里的$S(n)$和$V(n)$分别代表n维球体的表面积和体积。

在那篇帖子里，我还给出了它和黎曼ζ函数的恒等式：
$$\frac{\zeta (\frac{1}{2}-n)}{\zeta(n+\frac{1}{2})} = -i^{{n(n+1)}\frac{\theta_{2n}(2n-1)}{2}n}$$
同时我猜想：每一个$\zeta(2n)$（其中$n \in \mathbb{N}$）都可以完全用$\theta_k(n)$和$\pi$的某个幂次来表示。

$\theta_k(n)$的应用场景其实非常广泛，很多公式和结果都可以用它来重写，就像广义超几何函数 $pF_q(a_1,...,a_p;b_1,...,b_q;z)$或者Lerch超越函数 $\Phi(z, s, a)$那样，能帮我们简化复杂的表达式。举个例子，下面这个积分结果就能用$\theta_k(n)$简化：
$$\sqrt{2\pi}\int{-\infty}^\infty x^{2n+2}e{-x^{2},dx=-\frac{\theta_{2n}(2n+1)}{\left(-\pi\right)}n}$$

毫不意外的是，$\theta_k(n)$在n维球面上的向量分布问题里经常出现，这里给几个例子：

• 球面上的均匀随机点
  • 从狄利克雷分布推导出来的n维球面上均匀分布随机向量的边缘密度，可以写成：
    $$\sim \theta_k(n)\left(1 - \sum_{i=1}^k z_i^2 \right)^{(n-k)/2 -1}$$
  • 均匀随机采样得到的第一个坐标平方的概率密度函数（$y \in [0,1]$），可以重写为：
    $$\rho(y) = \frac{S(n-1)}{nV(n)}(1-y)^{(n-3)/2}y{-1/2} = \frac{\theta_1(n)}{n}(1-y)^{(n-3)/2}y{-1/2}$$
    这里的系数可以简化成$\frac{\theta_1(n)}{n}$，类似的形式在相关的其他结果里也会出现。
• 固定向量与n维球面向量的相关性分布
  这类问题里同样能看到$\theta_k(n)$的身影。

除此之外，$\theta_k(n)$还出现在这些领域：

• 高阶导数的计算
• $1/|x|^{\alpha}$的傅里叶变换
• 排列组合问题：比如“n对夫妻排成一排，要求没有妻子坐在丈夫旁边，有多少种排法？”这个问题里用到了$\theta_{2n}(2n-1)$的恒等式

更不用说$\theta_{2n}(2n-1)$在超几何级数、黎曼ζ函数等大量场景中的出现了。

最后我有几个疑问想请教大家：
这些现象仅仅是因为伽马函数的通用性吗？它和黎曼ζ函数的关联有没有几何层面的解释？还是说这些都只是巧合？谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mako