集合$Q = \{A,B,C\}$上满足对称且反对称、既不自反也不传递的关系候选答案正确性确认及正解请求

嗨，咱们来逐个拆解你给出的两个候选关系，看看它们是否符合要求：

第一个候选：$R = {}$（空关系） #

• 对称&反对称：你这块的理解完全正确！对称和反对称都是「若P则Q」的蕴含式，空关系里没有任何元素能触发前提P，所以这两个性质都是vacuously true（ vacuously成立），确实满足条件。
• 不自反：没问题，自反性要求集合里每个元素都和自身有关系，但空关系里连$(A,A)$、$(B,B)$、$(C,C)$都没有，显然不满足自反性。
• 不传递？：这里踩坑啦！传递性同样是蕴含式：「若$(x,y) \in R$且$(y,z) \in R$，则$(x,z) \in R$」。空关系里根本找不到符合前提的$(x,y)$和$(y,z)$，所以这个蕴含式也是vacuously成立的——也就是说，空关系是传递的，不符合你要的「不传递」要求。

第二个候选：$R = {(A,A), (B,B)}$ #

• 对称&反对称：这部分是对的。所有元素都是自身环，对称性质自然满足；反对称要求「若$(x,y)$和$(y,x)$都在R里则$x=y$」，这里所有元素都符合$x=y$，所以也满足反对称。
• 不自反：没错，因为缺少了$(C,C)$，不满足「每个元素都和自身有关系」的自反要求，这部分符合条件。
• 不传递？：不对哦，这个关系也是传递的。假设存在$(x,y) \in R$且$(y,z) \in R$，那只能是$x=y=z$（比如$(A,A)$和$(A,A)$），此时$(x,z)=(A,A)$也在R里，完全满足传递性的要求。另外你提到「对称性和反对称性蕴含传递性」，这个结论其实不对，但巧合的是，所有对称且反对称的关系确实都是传递的——咱们下面细说原因。

关键结论：不存在符合所有要求的关系 #

其实对称且反对称的关系有个固定结构：它们只能包含形如$(x,x)$的自身环，绝对不能有任何$x≠y$的$(x,y)$对。为啥？假设存在$x≠y$且$(x,y) \in R$，根据对称性，$(y,x)$也必须在R里；但根据反对称性，只要$(x,y)$和$(y,x)$都在R里，就必须$x=y$，这就矛盾了。

而所有这类「只有自身环」的关系，必然都是传递的：

• 如果是空关系，传递性vacuously成立；
• 如果包含若干自身环，只要满足$(x,y) \in R$且$(y,z) \in R$，就一定有$x=y=z$，此时$(x,z)=(x,x)$也在R里，传递性成立。

所以结论是：不存在同时满足「对称且反对称、既不自反也不传递」的关系。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者River Uzoma