初值问题解的存在性与唯一性的参数$a$取值求解咨询

我正在解决以下初值问题（IVP），想请教大家如何确定实数$a$的取值范围：

求所有$a\in \mathbb{R}$，使得IVP $y'=[\cos(x+2y)+ay]^{\frac{4}{5}}$ 满足初始条件$y(0)=2\pi$，在点$(x_0,y_0)=(0,2\pi)$的某个邻域内存在解；同时找出哪些$a$能保证该解是唯一的。

我的尝试思路 #

我先定义了矩形区域 $D={(x,y):|x|\leqslant A,~|y-2\pi|\leqslant B}$，其中$f(x,y)=[\cos(x+2y)+ay]^{\frac{4}{5}}$。要让$f$在$D$上连续，必须满足对所有$(x,y)\in D$，都有$\cos(x+2y)+ay\geqslant0$。这种情况下，根据Peano存在定理，就能保证解的存在性。

但当我试图推导$a$的取值范围时，得到了$a\geqslant -\min_{(x,y)\in D}\frac{\cos(x+2y)}{y}$，这里遇到了两个困惑：

• 该如何计算这个最小值？
• 就算算出了最小值，它也会依赖于矩形$D$的参数$A$和$B$。我期望得到的是不依赖$A$、$B$的答案，也就是在$(0,2\pi)$的任意邻域内都成立的$a$的取值。

关于唯一性的思考 #

对于解的唯一性，我计划使用Picard-Lindelöf定理，这要求$f$关于$y$的偏导数在$D$上有界。我计算出偏导数：
$$f_y(x,y)=\frac45,[\cos(x+2y)+ay]^{-\frac{1}{5}} [a-2\sin(x+2y)]$$
要让这个偏导数有界，就需要对所有$(x,y)\in D$，都有$\cos(x+2y)+ay>0$。不过这一步之后我也不确定该怎么继续推进了。

希望大家能给我一些帮助，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nikolaos Skout