无限域上射影空间r维闭子集与r个超平面交于有限点的证明疑问

我正在尝试证明：如果$k$是无限域，那么对于射影空间$\mathbb{P}^n_k$中任意$r$维闭子集$X$，存在$r$个超平面（即由线性齐次多项式$f_i\in k[x_0,\dots,x_n]$定义的$V(f_i)$），使得$X\cap\bigcap_{i=1}^r V(f_i)$仅包含有限个点。这本质上是Vakil最新版笔记中的习题12.3.C(d)。

我已经解决了这个问题的前面几个部分，除了(c)部分的最后一小点——这部分同样用到了无限域的假设。我本来想模仿之前解决问题时的思路（大致和某篇解答的思路一致），但卡在了两个关键点上：

• 怎么利用$k$是无限域的假设，保证我们选的$f_i$是线性的？
• 又怎么保证最终的交集只有有限个点？

我隐约知道，有限域上可能存在覆盖所有有理点的曲线，无限域的假设应该是用来避免这种情况，但我搞不懂这在代数层面怎么具体应用到证明里。之前唯一用到过无限域假设的场景是素理想规避引理（这里的关键是：无限域上的向量空间不能表示为有限个真子空间的并），我试着用这个思路来推导，但没成功。

如果能针对上面两个关键点给出提示、参考或者完整解答，我会非常感激。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kenanski Bowspleefi